邊界元法

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邊界元法(boundary element method)

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什麼是邊界元法

  邊界元法是一種繼有限元法之後發展起來的一種新數值方法,與有限元法在連續體域內劃分單元的基本思想不同,邊界元法是只在定義域的邊界上劃分單元,用滿足控制方程的函數去逼近邊界條件。所以邊界元法與有限元相比,具有單元個數少,數據準備簡單等優點。但用邊界元法解非線性問題時,遇到同非線性項相對應的區域積分,這種積分在奇異點附近有強烈的奇異性,使求解遇到困難。

邊界元法的特點

  邊界元法是在有限元法之後發展起來的一種較精確有效的方法。又稱邊界積分方程-邊界元法。它以定義在邊界上的邊界積分方程為控制方程,通過對邊界分元插值離散,化為代數方程組求解。它與基於偏微分方程的區域解法相比,由於降低了問題的維數,而顯著降低了自由度數,邊界的離散也比區域的離散方便得多,可用較簡單的單元準確模擬邊界形狀,最終得到階數較低的線性代數方程組。又由於它利用微分運算元的解析的基本解作為邊界積分方程的核函數 ,而具有解析與數值相結合的特點,通常具有較高的精度。

  特別是對於邊界變數變化梯度較大的問題 ,如應力集中問題 ,或邊界變數出現奇異性的裂紋問題,邊界元法被公認為比有限元法更加精確高效。由於邊界元法所利用的微分運算元基本解能自動滿足無限遠處的條件,因而邊界元法特別便於處理無限域以及半無限域問題。邊界元法的主要缺點是它的應用範圍以存在相應微分運算元的基本解為前提,對於非均勻介質等問題難以應用,故其適用範圍遠不如有限元法廣泛,而且通常由它建立的求解代數方程組的繫數陣是非對稱滿陣,對解題規模產生較大限制。對一般的非線性問題,由於在方程中會出現域內積分項,從而部分抵消了邊界元法只要離散邊界的優點。

邊界元法的發展

  經過近40年的研究和發展,邊界元法已經成為一種精確高效的工程數值分析方法。在數學方面,不僅在一定程度上剋服了由於積分奇異性造成的困難,同時又對收斂性、誤差分析以及各種不同的邊界元法形式進行了統一的數學分析,為邊界元法的可行性和可靠性提供了理論基礎。在方法與應用方面,邊界元法已應用到工程和科學的很多領域,對線性問題,邊界元法的應用已經規範化;對非線性問題,其方法亦趨於成熟。在軟體應用方面,邊界元法應用軟體已由原來的解決單一問題的計算程式向具有前後處理功能、可以解決多種問題的邊界元法程式包發展。

  我國約在1978年開始進行邊界元法的研究,我國的學者在求解各種問題的邊界元法的研究方面做了很多的工作,並且發展了相應的計算軟體,有些已經應用於工程實際問題,並收到了良好的效果。

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