赫斯特指數

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赫斯特指數（Hurst exponent）

　　基於重標極差(R/S)分析方法基礎上的赫斯特指數(H)的研究是由英國水文專家H．E．Hurst(1900—1978)在研究尼羅河水庫水流量和貯存能力的關係時，發現用有偏的隨機游走(分形布朗運動)能夠更好地描述水庫的長期存貯能力，併在此基礎上提出了用重標極差(R/S)分析方法來建立赫斯特指數(H)，作為判斷時間序列數據遵從隨機游走還是有偏的隨機游走過程的指標。

　　赫斯特指數的思路是：設X_i = X₁,…X_n為一時間序列的n個連續值，取對數併進行一次差分後的數據劃分為長度為H的相鄰的子區間A，即A*H=n。

　　則：

　　每個子區間的均值為：

　　X_m = (X₁ + … + X_h)/H

　　標準差為：

　　均值的累積橫距(XKA)為：

　　組內極差為：

　　R_h = max(X_r,A)-mix(X_r,A)

　　赫斯特指數(H)為：

　　Hurst推出的關係為：

　　其中c為常數，n為觀察值的個數，H為赫斯特指數。

　　赫斯特指數有三種形式：

　　1．如果H=0.5，表明時間序列可以用隨機游走來描述；

　　2．如果0.5<H≤1，表明黑雜訊(持續性)即暗示長期記憶的時間序列；

　　3．如果0≤H<0.5，表明粉紅雜訊(反持續性)即均值回覆過程。

　　也就是說，只要H ≠0.5，就可以用有偏的布朗運動(分形布朗運動)來描述該時間序列數據。

　　V統計量是一個和赫斯特指數有關的指標是，它被定義為：

　　如果確定時間序列為長期記憶過程(即計算得出的赫斯特指數為0.5 <H≤1)，則說明赫斯特指數的結果依賴於數據排列的順序，打亂數據的順序並以此重新計算赫斯特指數必然小於沒有打亂的數據計算的赫斯特指數。而且如果V統計量呈趨勢向上(有正斜率)則表明0.5<1。反之亦然。