灰色系統預測法

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什麼是灰色系統預測法

　　灰色系統預測法是指對一些行為效果已知、而產生行為的原因較模糊的抽象灰色系統的預測方法。所謂灰色系統是介於白色系統和黑箱系統之間的過渡系統，一般地說，社會系統、經濟系統、生態系統都是灰色系統。

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灰色系統預測主要包括

　　灰色系統預測主要包括：

　　1.數列預測，即對系統行為特征值的預測。

　　2.激勵預測，即對在一些突然性因素影響下的行為特征值的預測。

　　3.突變預測，即對系統的行為特征值超過一定限度而造成“突變”的時間的預測。

　　4.季節突變預測，即在某一特定時期內發生的突變的預測。

　　5.拓展預測，是對不規則波動系統的行為特征的波形的預測。

　　6.系統預測，是一種綜合預測，即先用不同模型表示變數之間的關係，得到一組模型，然後再進一步採用模型來表示諸模型組之間的關係，得到一個複合模型來進行預測。

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灰色系統預測法的特點

　　該預測方法具有以下特點：

不需要大量的樣本；

預測精度較高；

用累加生成擬合微分方程，符合能量系統的變化規律；

可以進行長期預測。

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灰色系統預測法的建模方法和過程

　　（1）數據處理。假設給定原始時間數據序列為：

$X^{(0)}=(x^{(0)}(1),x^{(0)}(2),\cdots,x^{(0)}(n))$ 　　　　（4-40）

　　這些數據表現為：量少、無規律、隨機性強、波動明顯等。此時，將原始數據列進行一次累加生成1-AGO，獲得新的數據列：

$X^{(1)}=(x^{(1)}(1),x^{(1)}(2),\cdots,x^{(1)}(n))$ 　　　　（4-41）

　　式中， $X^{(1)}(i)=\sum_{k=1}^i x^{(0)}(k)(i=1,2,\cdots,n)$ 。由於新生成的數據列為一條單調增長的曲線，增加了原始數據列的規律性，弱化了其波動性。

　　（2）建立微分方程。灰色系統建模思想是直接將時間序列轉化為微分方程，從而建立抽象系統的發展變化動態模型，簡記為GM。GM（1,1）模型的原始形式為： $x (0) (k) + a x (1) (k) = b$ ,其中，G表示Grey，M表示Model，1表示1階方程，1表示1個變數，a和b為參數。設

$Z^{(1)}=(z^{(1)}(2),z^{(1)}(3),\cdots,z^{(1)}(n))$ 　　　（4-42）

式中， $z^{(1)}(k)=\frac{1}{2}(x^{(1)}(k)+x^{(1)}(k-1))$ ,則稱

$x (0) (k) + a z (1) (k) = b$ 　　　　　　　　（4-43）

為GM（1,1）模型的基本形式。

　　若 $\widehat{a}=(a,b)^T$ 為參數列，且

$X_n= \begin{bmatrix} x^{(0)}(2) \\ x^{(0)}(3) \\ \vdots \\ x^{(0)}(n) \end{bmatrix}$ ， $B= \begin{bmatrix} -z^{(1)}(2) & 1 \\ -z^{(1)}(3) & 1 \\ \vdots & \vdots \\ -z^{(1)}(n) & 1 \end{bmatrix}$ 　　　　　　（4-44）

則灰色微分方程式（4-44）的最小二乘估計參數列滿足：

$\widehat{a}=(B^{T}B)^{-1}B^{T}Y$ 　　　（4-45）

　　設非負序列 $X (0)$ 和1-AGO序列 $X (1)$ 如式（4-41）和式（4-42）所示，其中 $Z (1)$ 為 $X (1)$ 的緊鄰均值生成序列，如式（4-43）所示， ${(a,b)}^T={(B^{T} B)}^{-1}B^{T} X_n$ ，

則稱 $\frac{dx^{(1)}(t)}{dt}+ax^{(1)}(t)=b$ 　　（4-46）

為灰色微分方程式（4-44）的白化方程，也叫影響方程。進行物流預測時，常常採用該白化方程。

　　（3）參數估計a和b。具體公式為式（4-45）和式（4-46），其中式（4-45）結合式（4-43）代入得

$X_n= \begin{bmatrix} x^{(0)}(2) \\ x^{(0)}(3) \\ \vdots \\ x^{(0)}(n) \end{bmatrix}$ ，

$B= \begin{bmatrix} -\frac{1}{2}(x^{(1)}(1)+x^{(1)}(2)) & 1 \\ -\frac{1}{2} (x^{(1)}(2)+x^{(1)}(3)) & 1 \\ \vdots &\vdots \\ -\frac{1}{2}(x^{(1)}(n-1)+x^{(1)}(n)) & 1 \end{bmatrix}$ 　　（4-47）

${(a,b)}^T={(B^{T} B)}^{-1}B^{T} X_n$ 　　　　　　（4-48）

把式（4-47）代入式（4-48）可得a和b的值。

　　（4）預測模型。白化方程式（4-46）的解也稱時間相應預測值，具體為：

$x^{(1)}(t)=(x^{(1)}(0)- \frac{b}{a})e^{-a(t-1)}+ \frac{b}{a}$ 　　（4-49）

　　GM（1，1）灰色微分方程式（4-43）或式（4-46）的時間相應序列為：

　　　　 $\widehat{x} ^{(1)} (k+1)=(x^{(1)}(0)- \frac{b}{a})e^{-ak}+ \frac{b}{a}$ ， $k=1,2,\cdots ,n$ 　　　　（4-50）

　　取 $x (1) (0) = x (0) (1)$ ，則

$\widehat{x} ^{(1)} (k+1)=(x^{(0)}(1)- \frac{b}{a})e^{-ak}+ \frac{b}{a}$ ， $k=1,2,\cdots ,n$ 　　　　（4-51）

　　（5）還原模型。最後由於灰色系統理論建立的是累加數據的模型，因此我們必須對累加的數據進行還原，得到還原模型：

$\widehat{x} ^{(0)} (k+1)=\widehat{x} ^{(1)}(k+1)- \widehat{x} ^{(1)}k$ ， $k=1,2,\cdots ,n$ 　　　　（4-52）

　　GM（1,1）模型的綜合預測模型為：

$\begin{cases} {\widehat{x} ^{(1)} (k+1)=(x^{(0)}(1)- \frac{b}{a})e^{-ak}+ \frac{b}{a} , k=1,2,\cdots ,n} \\ {\widehat{x} ^{(0)} (k+1)=\widehat{x}^{(1)}(k+1)- \widehat{x}^{(1)}k , k=1,2,\cdots ,n }\end{cases}$

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灰色系統預測法的模型檢驗

　　設原始序列為式（4-41），相應的預測模型序列為：

$\widehat x ^{(0)}=(\widehat x ^ {(0)} (1),\widehat x ^ {(0)} (2),\cdots , \widehat x ^ {(0)} (n))$

　　殘差序列為：

$\varepsilon ^ {(0)}=(\varepsilon ^ {(0)} (1),\varepsilon ^ {(0)} (2),\cdots ,\varepsilon ^ {(0)} (n))$

$=(x^{(0)}(1)-\widehat x ^ {(0)} (1),x^{(0)}(2)-\widehat x ^ {(0)} (2),\cdots ,x^{(0)}(n)-\widehat x ^ {(0)} (n)$

　　（1）殘差檢驗。按預測模型計算 $\widehat x^{(1)}(k)$ ，並將 $\widehat x^{(1)}(k)$ 累減生成 $\widehat x^{(0)}(k)$ ，然後計算原始數據 $x (0) (k)$ 與預測值 $\widehat x^{(0)}(k)$ 的絕對誤差序列和相對誤差序列：

$\varepsilon ^{(0)}(k)=|x^{(0)}(k)- \widehat x ^{(0)}(k)|,k=1,2, \cdots ,n$ （4-53）

$\Delta_k=\frac{\varepsilon ^{(0)}(k)}{x^{(0)}(k)} \times 100%,k=1,2, \cdots ,n$ （4-54）

　　對於 $k \le n$ ，稱 $\Delta_k=\left| \frac{\varepsilon ^{(0)}(k)}{x^{(0)}(k)} \right|$ 為k點模擬相對誤差，稱 $\bar \Delta= \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n {\Delta_k}$ 為平均相對誤差；稱 $1-\bar \Delta$ 為平均相對精度， $1 - Δ k$ 為k點的模擬精度 $(k=1,2,\cdots ,n)$ 。給定 $α$ ，當 $Δ < α$ 且 $Δ k < α$ 成立時，該模型為殘差合格模型。

　　（2）後驗差檢驗。第1後驗指標為方差比 $C=\frac{S_2}{S_1}$ ，對於給定的 $C 0 > 0$ ,當 $C < C 0$ 時，稱模型為均方差合格模型。第2後驗指標為小誤差概率 $p=P(|\varepsilon (k)-\bar \varepsilon| < 0.674 5S_1)$ ，對於給定的 $p 0 > 0$ ，當 $p < p 0$ 時，稱模型為小誤差概率合格模型。

　　上述式中： $S 1$ 位原始序列標準差； $S 2$ 為絕對誤差標準差； $\varepsilon (k)$ 為預測誤差； $\bar \varepsilon$ 為其均值；p=m/n(m為小於上述條件的誤差個數)。通過檢驗的標準為精度等級月消越好，4級為不通過，精度等級如表4-8所示。

**表4-8　　精度檢驗等級參照表**
	精度等級
	1	2	3	4
相對誤差 $α$	<0.01	<0.05	<0.10	$\geq$ 0.20
關聯度 $\varepsilon_0$	>0.90	>0.80	>0.70	$\leq$ 0.60
小誤差概率p	>0.95	>0.80	>0.70	$\leq$ 0.70
方差比C	<0.35	<0.50	<0.65	$\geq$ 0.65

　　雖然GM（1，1）模型在預測方面應用廣泛且效果顯著，但並不是所有的數據序列都能建立GM（1，1）模型。在建立GM（1，1）模型之前，數列必須滿足一定的前提條件：

　　1）數據序列要滿足準光滑性條件，光滑比 $\rho (t)=\frac{x(t)}{ \sum_{i=1}^{t-1} x(i) }<0.5$ 為準光滑性檢驗條件；

　　2）數據序列必須滿足灰指數規律，序列的變化速度不能太快，級比 $\delta ^{(1)}(t)=\frac {x^{(0)}}{x(t-1)} \in [1,1.5)$ 為準指數規律檢驗條件。

　　對於滿足準光滑性條件和灰指數規律的序列，可以建立GM（1，1）模型。一般非負系列累加生成後，可以得到光滑序列，非負光滑序列累加生成後，都會減少隨機性，呈現出近似的指數增長規律。原始數列越光滑，生成後的指數規律也越明顯。因此保證數列光滑性是生成指數的關鍵。對於非光滑或震蕩數列，一般經過二級弱化運算元作用後就能變成為光滑數列。

取自"https://wiki.mbalib.com/zh-tw/%E7%81%B0%E8%89%B2%E7%B3%BB%E7%BB%9F%E9%A2%84%E6%B5%8B%E6%B3%95"

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