巴拿赫不動點定理

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巴拿赫不動點定理（Banach fixed-point theorem）

什麼是巴拿赫不動點定理

　　巴拿赫不動點定理是指度量空間理論的一個重要工具。它保證了度量空間的一定自映射的不動點的存在性和唯一性，並提供了求出這些不動點的構造性方法。這個定理是以斯特凡•巴拿赫命名的，他在1922年提出了這個定理。

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巴拿赫不動點定理的內容

　　設(X, d)為非空的完備度量空間。設T : X → X為X上的一個壓縮映射，也就是說，存在一個非負的實數q < 1，使得對於所有X內的x和y，都有：

　　 $d(T(x),T(y)) \le q\cdot d(x,y)$

　　那麼映射T在X內有且只有一個不動點 $x *$ （這就是說， $T x * = x *$ ）。更進一步，這個不動點可以用以下的方法來求出：從X內的任意一個元素 $x 0$ 開始，並定義一個迭代序列 $x n = T x n - 1$ ，對於n = 1，2，3，……。這個序列收斂，且極限為 $x *$ 。以下的不等式描述了收斂的速率：

　　 $d(x^*, x_n) \leq \frac{q^n}{1-q} d(x_1,x_0)$

　　等價地：

　　 $d(x^*, x_{n+1}) \leq \frac{q}{1-q} d(x_{n+1},x_n)$

　　且

　　 $d(x^*, x_{n+1}) \leq q d(x_n,x^*)$

　　滿足以上不等式的最小的q有時稱為利普希茨常數。

　　註意對於所有不同的x和y都有d(Tx, Ty) < d(x, y)的要求，一般來說是不足以保證不動點的存在的，例如映像T : [1,∞) → [1,∞)，T(x) = x + 1/x，就沒有不動點。但是，如果空間X是緊空間，則這個較弱的假設也能保證不動點的存在。

　　當實際應用這個定理時，最艱難的部分通常是恰當地定義X，使得T實際上把元素從X映像到X，也就是說，Tx總是X的一個元素。

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巴拿赫不動點定理的證明

　　選擇任何 $x_0 \in (X, d)$ 。對於每一個 $n \in \{1, 2, \ldots\}$ ，定義 $x_n = Tx_{n-1}\,\!$ 。我們聲稱對於所有的 $n \in \{1, 2, \dots\}$ ，以下等式都成立：

　　 $d(x_{n+1}, x_n) \leq q^n d(x_1, x_0)$ 。

　　我們用數學歸納法來證明。對於 $n = 1$ 的情況，命題是成立的，這是因為：

　　 $d(x_{1+1}, x_1) = d(x_2, x_1) = d(Tx_1, Tx_0) \leq qd(x_1, x_0)$ 。

　　假設命題對於某個 $k \in {1, 2, \ldots}$ 是成立的。那麼，我們有：

$d(x_{(k + 1) + 1}, x_{k + 1})\,\!$	$= d(x_{k + 2}, x_{k + 1})\,\!$
	$= d(Tx_{k + 1}, Tx_k)\,\!$
	$\leq q d(x_{k + 1}, x_k)$
	$\leq q \cdot q^kd(x_1, x_0)$
	$= q^{k + 1}d(x_1, x_0)\,\!$ 。

　　從第三行到第四行，我們用到了歸納假設。根據數學歸納法原理，對於所有的 $n \in {1, 2, \ldots}$ ，以上的命題都成立。

　　設 $\epsilon > 0\,\!$ 。由於 $0 \leq q < 1$ ，我們便可以找出一個較大的 $N \in \{1, 2, \ldots\}$ ，使得：

　　 $q^N < \frac{\epsilon(1-q)}{d(x_1, x_0)}$ 。

　　利用以上的命題，我們便有對於任何m， $n \in {0, 1, \ldots}$ 以及 $m > n \geq N$ ，都有：

$d\left(x_m, x_n\right)$	$\leq d(x_m, x_{m-1}) + d(x_{m-1}, x_{m-2}) + \cdots + d(x_{n+1}, x_n)$
	$\leq q^{m-1}d(x_1, x_0) + q^{m-2}d(x_1, x_0) + \cdots + q^nd(x_1, x_0)$
	$= d(x_1, x_0)q^n \cdot \sum_{k=0}^{m-n-1} q^k$
	$< d(x_1, x_0)q^n \cdot \sum_{k=0}^\infty q^k$
	$= d(x_1, x_0)q^n \frac{1}{1-q}$
	$= q^n \frac{d(x_1, x_0)}{1-q}$
	$< \frac{\epsilon(1-q)}{d(x_1, x_0)}\cdot\frac{d(x_1, x_0)}{1-q}$
	$= \epsilon\,\!$ 。

　　第一行的不等式可以從三角不等式推出；第四行的級數是一個幾何級數，其中 $0 \leq q < 1$ ，因此它收斂。以上表明 $\{x_n\}_{n\geq 0}$ 是 $(X, d)\,\!$ 內的一個柯西序列，所以根據完備性，它是收斂的。因此設 $x^* = \lim_{n\to\infty} x_n$ 。我們作出兩個聲明：第一， $x^*\,\!$ 是 $T\,\!$ 的一個不動點，也就是說， $Tx^* = x^*\,\!$ ；第二， $x^*\,\!$ 是 $T\,\!$ 在 $(X, d)\,\!$ 中的唯一的不動點。

　　為了證明第一個命題，我們註意到對於任何的 $n \in \{0, 1, \ldots\}$ ，都有：

　　 $0 \leq d(x_{n+1}, Tx^*) = d(Tx_n, Tx^*) \leq q d(x_n, x^*)$ 。

　　由於當 $n \to \infty$ 時， $qd(x_n, x^*) \to 0$ ，因此根據夾擠定理，可知 $\lim_{n\to\infty} d(x_{n+1}, Tx^*) = 0$ 。這表明當 $n \to \infty$ 時， $x_n \to Tx^*$ 。但當 $n \to \infty$ 時， $x_n \to x^*$ ，且極限是唯一的；因此，一定是 $x^* = Tx^*\,\!$ 的情況。