巴拿赫不动点定理

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巴拿赫不动点定理（Banach fixed-point theorem）

什么是巴拿赫不动点定理

　　巴拿赫不动点定理是指度量空间理论的一个重要工具。它保证了度量空间的一定自映射的不动点的存在性和唯一性，并提供了求出这些不动点的构造性方法。这个定理是以斯特凡•巴拿赫命名的，他在1922年提出了这个定理。

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巴拿赫不动点定理的内容

　　设(X, d)为非空的完备度量空间。设T : X → X为X上的一个压缩映射，也就是说，存在一个非负的实数q < 1，使得对于所有X内的x和y，都有：

　　 $d(T(x),T(y)) \le q\cdot d(x,y)$

　　那么映射T在X内有且只有一个不动点 $x *$ （这就是说， $T x * = x *$ ）。更进一步，这个不动点可以用以下的方法来求出：从X内的任意一个元素 $x 0$ 开始，并定义一个迭代序列 $x n = T x n - 1$ ，对于n = 1，2，3，……。这个序列收敛，且极限为 $x *$ 。以下的不等式描述了收敛的速率：

　　 $d(x^*, x_n) \leq \frac{q^n}{1-q} d(x_1,x_0)$

　　等价地：

　　 $d(x^*, x_{n+1}) \leq \frac{q}{1-q} d(x_{n+1},x_n)$

　　且

　　 $d(x^*, x_{n+1}) \leq q d(x_n,x^*)$

　　满足以上不等式的最小的q有时称为利普希茨常数。

　　注意对于所有不同的x和y都有d(Tx, Ty) < d(x, y)的要求，一般来说是不足以保证不动点的存在的，例如映像T : [1,∞) → [1,∞)，T(x) = x + 1/x，就没有不动点。但是，如果空间X是紧空间，则这个较弱的假设也能保证不动点的存在。

　　当实际应用这个定理时，最艰难的部分通常是恰当地定义X，使得T实际上把元素从X映像到X，也就是说，Tx总是X的一个元素。

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巴拿赫不动点定理的证明

　　选择任何 $x_0 \in (X, d)$ 。对于每一个 $n \in \{1, 2, \ldots\}$ ，定义 $x_n = Tx_{n-1}\,\!$ 。我们声称对于所有的 $n \in \{1, 2, \dots\}$ ，以下等式都成立：

　　 $d(x_{n+1}, x_n) \leq q^n d(x_1, x_0)$ 。

　　我们用数学归纳法来证明。对于 $n = 1$ 的情况，命题是成立的，这是因为：

　　 $d(x_{1+1}, x_1) = d(x_2, x_1) = d(Tx_1, Tx_0) \leq qd(x_1, x_0)$ 。

　　假设命题对于某个 $k \in {1, 2, \ldots}$ 是成立的。那么，我们有：

$d(x_{(k + 1) + 1}, x_{k + 1})\,\!$	$= d(x_{k + 2}, x_{k + 1})\,\!$
	$= d(Tx_{k + 1}, Tx_k)\,\!$
	$\leq q d(x_{k + 1}, x_k)$
	$\leq q \cdot q^kd(x_1, x_0)$
	$= q^{k + 1}d(x_1, x_0)\,\!$ 。

　　从第三行到第四行，我们用到了归纳假设。根据数学归纳法原理，对于所有的 $n \in {1, 2, \ldots}$ ，以上的命题都成立。

　　设 $\epsilon > 0\,\!$ 。由于 $0 \leq q < 1$ ，我们便可以找出一个较大的 $N \in \{1, 2, \ldots\}$ ，使得：

　　 $q^N < \frac{\epsilon(1-q)}{d(x_1, x_0)}$ 。

　　利用以上的命题，我们便有对于任何m， $n \in {0, 1, \ldots}$ 以及 $m > n \geq N$ ，都有：

$d\left(x_m, x_n\right)$	$\leq d(x_m, x_{m-1}) + d(x_{m-1}, x_{m-2}) + \cdots + d(x_{n+1}, x_n)$
	$\leq q^{m-1}d(x_1, x_0) + q^{m-2}d(x_1, x_0) + \cdots + q^nd(x_1, x_0)$
	$= d(x_1, x_0)q^n \cdot \sum_{k=0}^{m-n-1} q^k$
	$< d(x_1, x_0)q^n \cdot \sum_{k=0}^\infty q^k$
	$= d(x_1, x_0)q^n \frac{1}{1-q}$
	$= q^n \frac{d(x_1, x_0)}{1-q}$
	$< \frac{\epsilon(1-q)}{d(x_1, x_0)}\cdot\frac{d(x_1, x_0)}{1-q}$
	$= \epsilon\,\!$ 。

　　第一行的不等式可以从三角不等式推出；第四行的级数是一个几何级数，其中 $0 \leq q < 1$ ，因此它收敛。以上表明 $\{x_n\}_{n\geq 0}$ 是 $(X, d)\,\!$ 内的一个柯西序列，所以根据完备性，它是收敛的。因此设 $x^* = \lim_{n\to\infty} x_n$ 。我们作出两个声明：第一， $x^*\,\!$ 是 $T\,\!$ 的一个不动点，也就是说， $Tx^* = x^*\,\!$ ；第二， $x^*\,\!$ 是 $T\,\!$ 在 $(X, d)\,\!$ 中的唯一的不动点。

　　为了证明第一个命题，我们注意到对于任何的 $n \in \{0, 1, \ldots\}$ ，都有：

　　 $0 \leq d(x_{n+1}, Tx^*) = d(Tx_n, Tx^*) \leq q d(x_n, x^*)$ 。

　　由于当 $n \to \infty$ 时， $qd(x_n, x^*) \to 0$ ，因此根据夹挤定理，可知 $\lim_{n\to\infty} d(x_{n+1}, Tx^*) = 0$ 。这表明当 $n \to \infty$ 时， $x_n \to Tx^*$ 。但当 $n \to \infty$ 时， $x_n \to x^*$ ，且极限是唯一的；因此，一定是 $x^* = Tx^*\,\!$ 的情况。