巴拿赫不动点定理

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巴拿赫不动点定理(Banach fixed-point theorem)

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什么是巴拿赫不动点定理

  巴拿赫不动点定理是指度量空间理论的一个重要工具。它保证了度量空间的一定自映射的不动点的存在性和唯一性,并提供了求出这些不动点的构造性方法。这个定理是以斯特凡•巴拿赫命名的,他在1922年提出了这个定理。

巴拿赫不动点定理的内容

  设(X, d)为非空的完备度量空间。设T : X → X为X上的一个压缩映射,也就是说,存在一个非负的实数q < 1,使得对于所有X内的x和y,都有:

  d(T(x),T(y)) \le q\cdot d(x,y)

  那么映射T在X内有且只有一个不动点x * (这就是说,Tx * = x * )。更进一步,这个不动点可以用以下的方法来求出:从X内的任意一个元素x0开始,并定义一个迭代序列xn = Txn − 1,对于n = 1,2,3,……。这个序列收敛,且极限为x * 。以下的不等式描述了收敛的速率:

  d(x^*, x_n) \leq \frac{q^n}{1-q} d(x_1,x_0)

  等价地:

  d(x^*, x_{n+1}) \leq \frac{q}{1-q} d(x_{n+1},x_n)

  且

  d(x^*, x_{n+1}) \leq q d(x_n,x^*)

  满足以上不等式的最小的q有时称为利普希茨常数。

  注意对于所有不同的x和y都有d(Tx, Ty) < d(x, y)的要求,一般来说是不足以保证不动点的存在的,例如映像T : [1,∞) → [1,∞),T(x) = x + 1/x,就没有不动点。但是,如果空间X是紧空间,则这个较弱的假设也能保证不动点的存在。

  当实际应用这个定理时,最艰难的部分通常是恰当地定义X,使得T实际上把元素从X映像到X,也就是说,Tx总是X的一个元素。

巴拿赫不动点定理的证明

  选择任何x_0 \in (X, d)。对于每一个n \in \{1, 2, \ldots\},定义x_n = Tx_{n-1}\,\!。我们声称对于所有的n \in \{1, 2, \dots\},以下等式都成立:

  d(x_{n+1}, x_n) \leq q^n d(x_1, x_0)

  我们用数学归纳法来证明。对于n = 1的情况,命题是成立的,这是因为:

  d(x_{1+1}, x_1) = d(x_2, x_1) = d(Tx_1, Tx_0) \leq qd(x_1, x_0)

  假设命题对于某个k \in {1, 2, \ldots}是成立的。那么,我们有:

d(x_{(k + 1) + 1}, x_{k + 1})\,\! = d(x_{k + 2}, x_{k + 1})\,\!
= d(Tx_{k + 1}, Tx_k)\,\!
\leq q d(x_{k + 1}, x_k)
\leq q \cdot q^kd(x_1, x_0)
= q^{k + 1}d(x_1, x_0)\,\!

  从第三行到第四行,我们用到了归纳假设。根据数学归纳法原理,对于所有的n \in {1, 2, \ldots},以上的命题都成立。

  设\epsilon > 0\,\!。由于0 \leq q < 1,我们便可以找出一个较大的N \in \{1, 2, \ldots\},使得:

  q^N < \frac{\epsilon(1-q)}{d(x_1, x_0)}

  利用以上的命题,我们便有对于任何m,n \in {0, 1, \ldots}以及m > n \geq N,都有:

d\left(x_m, x_n\right) \leq d(x_m, x_{m-1}) + d(x_{m-1}, x_{m-2}) + \cdots + d(x_{n+1}, x_n)
\leq q^{m-1}d(x_1, x_0) + q^{m-2}d(x_1, x_0) + \cdots + q^nd(x_1, x_0)
= d(x_1, x_0)q^n \cdot \sum_{k=0}^{m-n-1} q^k
< d(x_1, x_0)q^n \cdot \sum_{k=0}^\infty q^k
= d(x_1, x_0)q^n \frac{1}{1-q}
= q^n \frac{d(x_1, x_0)}{1-q}
< \frac{\epsilon(1-q)}{d(x_1, x_0)}\cdot\frac{d(x_1, x_0)}{1-q}
= \epsilon\,\!

  第一行的不等式可以从三角不等式推出;第四行的级数是一个几何级数,其中0 \leq q < 1,因此它收敛。以上表明\{x_n\}_{n\geq 0}(X, d)\,\!内的一个柯西序列,所以根据完备性,它是收敛的。因此设x^* = \lim_{n\to\infty} x_n。我们作出两个声明:第一,x^*\,\!T\,\!的一个不动点,也就是说,Tx^* = x^*\,\!;第二,x^*\,\!T\,\!(X, d)\,\!中的唯一的不动点。

  为了证明第一个命题,我们注意到对于任何的n \in \{0, 1, \ldots\},都有:

  0 \leq d(x_{n+1}, Tx^*) = d(Tx_n, Tx^*) \leq q d(x_n, x^*)

  由于当n \to \infty时,qd(x_n, x^*) \to 0,因此根据夹挤定理,可知\lim_{n\to\infty} d(x_{n+1}, Tx^*) = 0。这表明当n \to \infty时,x_n \to Tx^*。但当n \to \infty时,x_n \to x^*,且极限是唯一的;因此,一定是x^* = Tx^*\,\!的情况。

  为了证明第二个命题,我们假设y\,\!也满足Ty = y\,\!。那么:

  0 \leq d(x^*, y) = d(Tx^*, Ty) \leq q d(x^*, y)

  由于0 \leq q < 1,因此上式意味着0 \leq (1-q) d(x^*, y) \leq 0,这表明d(x^*, y) = 0\,\!,于是根据正定性,x^* = y\,\!,定理得证。

巴拿赫不动点定理的逆定理

  巴拿赫不动点定理有许多逆定理,以下的一个是Czesław Bessaga在1959年发现的:

  设f:X\rightarrow X为一个抽象集合的映像,使得每一个迭代函数f^ n都有一个唯一的不动点。设q为一个实数,0 < q < 1。那么存在X上的一个完备度量,使得f是压缩映射,且q是压缩常数。

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