基廷斯指數

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基廷斯指數（動態分配指數）

　　20世紀70年代，聯合利華公司請年輕的數學家約翰·基廷斯幫助他們優化藥物試驗。令人意想不到的是，基廷斯竟然解開了一道難住了一代數學家的難題。基廷斯（牛津大學統計學教授）認真地思考了聯合利華提出的問題：已知有幾種不同的化合物，如何以最快的速度確定哪種化合物可能對哪種疾病有效？基廷斯把這個問題變成了儘可能簡單的形式：有多個可選方案，每個可選方案得到回報的概率不同，可分配的精力（金錢或時間）是確定的。於是，這個問題變成了多臂老虎機問題的另外一個化身。無論是追逐利潤的製藥公司，還是他們所在的醫葯行業，都經常需要面對探索與利用如何取捨的競爭需要。製藥公司希望投入到研發部門的資金可以幫助他們發明新藥，但是他們同時還希望現在正在幫助他們賺錢的生產線繼續開足馬力。醫生在開處方時，肯定希望病人在現有條件下得到最好的治療，但是他們也希望實驗研究可以找到更有效的治療手段。

　　顯而易見，在這兩種情況中，我們都無法確定相關的剩餘時間到底是什麼。從某種意義上講，製藥公司和醫生一樣，都對不確定的未來感興趣。製藥公司希望可以永遠存在下去，而醫葯行業則希望取得突破，甚至希望在人們出生之前就可以向他們提供幫助。不過，他們對當前時間的重視程度更高：今天就把病人治愈，其價值高於讓病人一周以後，甚至一年以後才康復，利潤方面當然同樣如此。經濟學家把這種重現在、輕將來的概念稱作“貼現”。基廷斯在研究多臂老虎機問題時採用的就是這些術語，這是他與之前的研究人員不同的地方。在他的構想中，他的目標不是在固定時間段里追求最大回報，而是在時間無限長但是價值被打折扣的未來追逐最有利的結果。

　　這種貼現在我們自己的生活中並不鮮見。如果你準備在一座城市逗留10天，那麼你在選擇餐廳時就要記住逗留時間已經確定這個事實，但是，如果你居住在這座城市，時間就沒有多大意義了。此時，你也許會想，時間越久，回報貶值的程度就越大：你更關心的是今天的晚餐，而不是明天的晚餐，並且對明天晚餐的關心程度又高於一年之後的晚餐。至於關心程度到底有多大差別，取決於你採用的“貼現函數”。基廷斯設置的條件是回報價值呈幾何級數貶值，也就是說，每次去餐廳進餐的價值是上一次的分數倍。如果你認為每天被車撞的可能性為1%，那麼在評估明天晚餐的價值時，就應該把它設定為今天晚餐價值的99%，因為你有可能根本沒有機會享受明天的晚餐。設定了這種幾何貼現條件之後，基廷斯提出了這樣一個策略：分別考察多臂老虎機的各個拉把，然後計算出各個拉把自己的價值。通過一個別出心裁的設想——賄賂，基廷斯完成了自己的研究，並且認為這個策略“至少可以給出一個效果不錯的近似估計”。

　　在《交易還是不交易》（Deal or No Deal）這個熱門電視節目中，參賽者要從26個箱子中選擇一個。箱子里裝有獎金，金額1美元~100萬美元不等。隨著游戲的進行，一位被稱作銀行家的神秘人物就會時不時出現。他願意支付給參賽者金額不等的一筆錢，條件是參賽者不要打開他選中的那隻箱子。參賽者需要做出選擇，或者接受這筆實實在在的錢，或者選擇裝在箱子里的數額不確定的獎金。基廷斯發現（儘管多年之後第一期《交易還是不交易》節目才播出），多臂老虎機問題與之並無區別。我們對每一臺老虎機都知之甚少，甚至一無所知，但是它們都有某個保底回報率。如果擺在我們面前的不是老虎機，而是它的回報率，那麼我們肯定不會去玩老虎機游戲。這個數字（基廷斯稱之為“動態分配指數”，現在全世界都把它叫作“基廷斯指數”）告訴我們一條顯而易見的賭博策略：一定要選擇指數最高的那個拉把。

　　基廷斯指數為我們指出了一個輕而易舉地解決多臂老虎機問題的方法。但是，這並不是說這個難題已經徹底得到解決，也不意味著基廷斯指數可以幫助我們處理日常生活中所有探索與利用的取捨問題。原因之一是基廷斯指數只有在某些強假設條件下才是最優策略。各種各樣的行為經濟學與行為心理學實驗都不建議人們對未來獎勵實行幾何貼現（即每次拉動拉把的價值都是上一次的分數倍）的做法。此外，如果不同方案之間的轉換需要付出成本，那麼基廷斯指數就不再是最有效的策略。（鄰居家的草地看起來可能真的更綠一些，但這並不是我們翻過籬笆的理由，更不用說通過二次抵押貸款把鄰居家的房子買下來了。）更重要的是，在匆忙之間很難計算出基廷斯指數。如果隨身攜帶一張指數表，你可以找到晚餐的最佳選擇，但是你得到的好處可能還不足以彌補你需要付出的時間和精力。（“等一等，我可以解決這個問題。這家餐廳的好評率是29/35，另一家的好評是13/16，因此它們的基廷斯指數分別是……嘿，人呢？”）

• [美]布萊恩·克裡斯汀 [美]湯姆·格裡菲思. 演算法之美[M].中信出版集團, 2018