基廷斯指数

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基廷斯指数（动态分配指数）

什么是基廷斯指数

　　20世纪70年代，联合利华公司请年轻的数学家约翰·基廷斯帮助他们优化药物试验。令人意想不到的是，基廷斯竟然解开了一道难住了一代数学家的难题。基廷斯（牛津大学统计学教授）认真地思考了联合利华提出的问题：已知有几种不同的化合物，如何以最快的速度确定哪种化合物可能对哪种疾病有效？基廷斯把这个问题变成了尽可能简单的形式：有多个可选方案，每个可选方案得到回报的概率不同，可分配的精力（金钱或时间）是确定的。于是，这个问题变成了多臂老虎机问题的另外一个化身。无论是追逐利润的制药公司，还是他们所在的医药行业，都经常需要面对探索与利用如何取舍的竞争需要。制药公司希望投入到研发部门的资金可以帮助他们发明新药，但是他们同时还希望现在正在帮助他们赚钱的生产线继续开足马力。医生在开处方时，肯定希望病人在现有条件下得到最好的治疗，但是他们也希望实验研究可以找到更有效的治疗手段。

　　显而易见，在这两种情况中，我们都无法确定相关的剩余时间到底是什么。从某种意义上讲，制药公司和医生一样，都对不确定的未来感兴趣。制药公司希望可以永远存在下去，而医药行业则希望取得突破，甚至希望在人们出生之前就可以向他们提供帮助。不过，他们对当前时间的重视程度更高：今天就把病人治愈，其价值高于让病人一周以后，甚至一年以后才康复，利润方面当然同样如此。经济学家把这种重现在、轻将来的概念称作“贴现”。基廷斯在研究多臂老虎机问题时采用的就是这些术语，这是他与之前的研究人员不同的地方。在他的构想中，他的目标不是在固定时间段里追求最大回报，而是在时间无限长但是价值被打折扣的未来追逐最有利的结果。

　　这种贴现在我们自己的生活中并不鲜见。如果你准备在一座城市逗留10天，那么你在选择餐厅时就要记住逗留时间已经确定这个事实，但是，如果你居住在这座城市，时间就没有多大意义了。此时，你也许会想，时间越久，回报贬值的程度就越大：你更关心的是今天的晚餐，而不是明天的晚餐，并且对明天晚餐的关心程度又高于一年之后的晚餐。至于关心程度到底有多大差别，取决于你采用的“贴现函数”。基廷斯设置的条件是回报价值呈几何级数贬值，也就是说，每次去餐厅进餐的价值是上一次的分数倍。如果你认为每天被车撞的可能性为1%，那么在评估明天晚餐的价值时，就应该把它设定为今天晚餐价值的99%，因为你有可能根本没有机会享受明天的晚餐。设定了这种几何贴现条件之后，基廷斯提出了这样一个策略：分别考察多臂老虎机的各个拉把，然后计算出各个拉把自己的价值。通过一个别出心裁的设想——贿赂，基廷斯完成了自己的研究，并且认为这个策略“至少可以给出一个效果不错的近似估计”。

　　在《交易还是不交易》（Deal or No Deal）这个热门电视节目中，参赛者要从26个箱子中选择一个。箱子里装有奖金，金额1美元~100万美元不等。随着游戏的进行，一位被称作银行家的神秘人物就会时不时出现。他愿意支付给参赛者金额不等的一笔钱，条件是参赛者不要打开他选中的那只箱子。参赛者需要做出选择，或者接受这笔实实在在的钱，或者选择装在箱子里的数额不确定的奖金。基廷斯发现（尽管多年之后第一期《交易还是不交易》节目才播出），多臂老虎机问题与之并无区别。我们对每一台老虎机都知之甚少，甚至一无所知，但是它们都有某个保底回报率。如果摆在我们面前的不是老虎机，而是它的回报率，那么我们肯定不会去玩老虎机游戏。这个数字（基廷斯称之为“动态分配指数”，现在全世界都把它叫作“基廷斯指数”）告诉我们一条显而易见的赌博策略：一定要选择指数最高的那个拉把。

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