方差分析

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方差分析(Analysis of Variance，簡稱ANOVA)

　　方差分析（ANOVA）又稱“變異數分析”，是R.A.Fister發明的，用於兩個及兩個以上樣本均數差別的顯著性檢驗。

　　由於各種因素的影響，研究所得的數據呈現波動狀。造成波動的原因可分成兩類，一是不可控的隨機因素，另一是研究中施加的對結果形成影響的可控因素。

　　一個複雜的事物，其中往往有許多因素互相制約又互相依存。方差分析的目的是通過數據分析找出對該事物有顯著影響的因素，各因素之間的交互作用，以及顯著影響因素的最佳水平等。方差分析是在可比較的數組中，把數據間的總的“變差”按各指定的變差來源進行分解的一種技術。對變差的度量，採用離差平方和。方差分析方法就是從總離差平方和分解出可追溯到指定來源的部分離差平方和，這是一個很重要的思想。

　　經過方差分析若拒絕了檢驗假設，只能說明多個樣本總體均數不相等或不全相等。若要得到各組均數間更詳細的信息，應在方差分析的基礎上進行多個樣本均數的兩兩比較。

　　1、多個樣本均數間兩兩比較

多個樣本均數間兩兩比較常用q檢驗的方法，即Newman-kueuls法，其基本步驟為：建立檢驗假設-->樣本均數排序-->計算q值-->查q界值表判斷結果。

　　2、多個實驗組與一個對照組均數間兩兩比較

　　多個實驗組與一個對照組均數間兩兩比較，若目的是減小第II類錯誤，最好選用最小顯著差法（LSD法）；若目的是減小第I類錯誤，最好選用新復極差法，前者查t界值表，後者查q'界值表。

　　基本思想：通過分析研究中不同來源的變異對總變異的貢獻大小，從而確定可控因素對研究結果影響力的大小。

　　下麵我們用一個簡單的例子來說明方差分析的基本思想：

　　如某克山病區測得11例克山病患者和13名健康人的血磷值（mmol/L）如下：

• 患者：0.84 1.05 1.20 1.20 1.39 1.53 1.67 1.80 1.87 2.07 2.11
• 健康人：0.54 0.64 0.64 0.75 0.76 0.81 1.16 1.20 1.34 1.35 1.48 1.56 1.87

　　問該地克山病患者與健康人的血磷值是否不同？

　　從以上資料可以看出，24個患者與健康人的血磷值各不相同，如果用離均差平方和（SS）描述其圍繞總均數的變異情況，則總變異有以下兩個來源：

• 組內變異，即由於隨機誤差的原因使得各組內部的血磷值各不相等；
• 組間變異，即由於克山病的影響使得患者與健康人組的血磷值均數大小不等。

　　而且：SS總=SS組間+SS組內 v總=v組間+v組內

　　如果用均方（即自由度v去除離均差平方和的商）代替離均差平方和以消除各組樣本數不同的影響，則方差分析就是用組內均方去除組間均方的商（即F值）與1相比較，若F值接近1，則說明各組均數間的差異沒有統計學意義，若F值遠大於1，則說明各組均數間的差異有統計學意義。實際應用中檢驗假設成立條件下F值大於特定值的概率可通過查閱F界值表（方差分析用）獲得。

　　應用方差分析對資料進行統計推斷之前應註意其使用條件，包括：

　　1、可比性。若資料中各組均數本身不具可比性則不適用方差分析。

　　2、正態性。即偏態分佈資料不適用方差分析。對偏態分佈的資料應考慮用對數變換、平方根變換、倒數變換、平方根反正弦變換等變數變換方法變為正態或接近正態後再進行方差分析。

　　3、方差齊性。即若組間方差不齊則不適用方差分析。多個方差的齊性檢驗可用Bartlett法，它用卡方值作為檢驗統計量，結果判斷需查閱卡方界值表。

　　方差分析主要用於：

　　1、均數差別的顯著性檢驗；

　　2、分離各有關因素並估計其對總變異的作用；

　　3、分析因素間的交互作用；

　　4、方差齊性檢驗。

　　根據資料設計類型的不同，有以下兩種方差分析的方法：

　　1、對成組設計的多個樣本均數比較，應採用完全隨機設計的方差分析，即單因素方差分析。

　　2、對隨機區組設計的多個樣本均數比較，應採用配伍組設計的方差分析，即兩因素方差分析。

　　兩類方差分析的基本步驟相同，只是變異的分解方式不同，對成組設計的資料，總變異分解為組內變異和組間變異（隨機誤差），即：SS總=SS組間+SS組內，而對配伍組設計的資料，總變異除了分解為處理組變異和隨機誤差外還包括配伍組變異，即：SS總=SS處理+SS配伍+SS誤差。整個方差分析的基本步驟如下：

　　1、建立檢驗假設；

• H0：多個樣本總體均數相等；
• H1：多個樣本總體均數不相等或不全等。

　　檢驗水準為0.05。

　　2、計算檢驗統計量F值；

　　3、確定P值並作出推斷結果。

　　1. 方差分析的假定條件為：

　　（1）各處理條件下的樣本是隨機的。

　　（2）各處理條件下的樣本是相互獨立的，否則可能出現無法解析的輸出結果。

　　（3）各處理條件下的樣本分佈必須為正態分佈，否則使用非參數分析。

　　（4）各處理條件下的樣本方差相同，即具有齊效性。

　　2. 方差分析的假設檢驗

　　假設有K個樣本，如果原假設H0樣本均數都相同，K個樣本有共同的方差σ ，則K個樣本來自具有共同方差σ和相同均值的總體。

　　如果經過計算，組間均方遠遠大於組內均方，則推翻原假設，說明樣本來自不同的正態總體，說明處理造成均值的差異有統計意義。否則承認原假設，樣本來自相同總體，處理間無差異。

　　應用條件：

　　（1）各樣本是相互獨立的隨機樣本

　　（2）各樣本分佈均為正態分佈

　　（3）各樣本的總體方差相等，即具有方差齊性

　　（4）在不滿足正態性時可以用非參數檢驗