凱萊-哈密頓定理

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什麼是凱萊-哈密頓定理

　　線上性代數中，凱萊-哈密頓定理（以數學家阿瑟•凱萊與威廉•盧雲•哈密頓命名）表明每個布於任何交換環上的實或復方陣都滿足其特征方程式。

　　明確地說：設 $A$ 為給定的 $n \times n$ 矩陣，並設 $I n$ 為 $n \times n$ 單位矩陣，則 $A$ 的特征多項式定義為：

　　 $p(\lambda)=\det(\lambda I_n-A)\,$

　　其中 det 表行列式函數。凱萊-哈密頓定理斷言：

　　 $p(A)=0.\,$

　　凱萊-哈密頓定理等價於方陣的特征多項式會被其極小多項式整除，這在尋找若爾當標準形時特別有用。

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凱萊-哈密頓定理的證明

　　以下考慮布於域 $k = \mathbb{R}, \mathbb{C}$ 上的矩陣。

　　凱萊-哈密頓定理可以視為線性代數中克萊姆法則的推論。克萊姆法則斷言：若 $S$ 是 $n \times n$ 矩陣，而 $cof(S)$ 表其餘因數矩陣，則

　　 $S \cdot \mathrm{cof}(S)^t = \det (S) I_n$

　　取 $S : = t I n - A$ ，便得到 $(t I n - A)cof(t I n - A) t = p A (t) I n$ 。此式對所有 $t$ 皆成立，由於實數或複數域有無窮多元素，上式等式在多項式環 $k [t]$ 內成立。

　　設 $M : = k n$ ，矩陣 $A$ 賦予 $M$ 一個 $k [t]$ -模結構： $f(t) \cdot m = f(A)m$ 。考慮 $k [t]$ -模 $M[t] := M \otimes_k k[t]$ ，我們有 $k [t]$ -模之間的「求值態射」：

　　 $e_A: M[t] \to M, \qquad M \otimes t^i \mapsto A^i m$

　　固定 $m \in M$ ，對 $M [t]$ 中的等式

　　 $(tI_n-A) \cdot \mathrm{cof}(tI_n-A)^t \,m = p_A(t) m$

　　右側取 $e A$ 後得到 $p A (A) m$ ，左側取 $e A$ 後得到 $(A-A) \cdot (\cdots) = 0$ 。明所欲證。

　　一個簡單的證明：

　　令：

　　 $B=\mbox{adj}(tI_n-A).\,$

　　由:

　　 $S \cdot \mathrm{adj}(S) = \det (S) I_n$

　　得：

　　 $(t I_n - A) \cdot B = \det(t I_n - A) I_n = p(t) I_n.$

　　將上式左邊按t進行多項式展開得：

　　 $p(t)I_n=(tI_n-A)*B=(tI_n-A)*\sum_{i = 0}^{n-1} t^i B_i$

　　= $\sum_{i = 0}^{n-1}tI_n*t^i B_i-\sum_{i = 0}^{n-1} A*t^i B_i$

　　= $\sum_{i = 0}^{n-1}t^{i+1}B_i-\sum_{i = 0}^{n-1}t^i A*B_i$

　　= $t^n B_{n-1} + \sum_{i=1}^{n - 1}t^i(B_{i-1} - A*B_i)-A*B_0$

　　將上式右邊展開得：

　　 $p(t)I_n=t^nI_n+t^{n-1}c_{n-1}I_n+\cdots+tc_1I_n+c_0I_n$

　　因兩多項式，他們的對應項繫數相等得：

　　 $B_{n - 1} = I_n, \qquad B_{i - 1} - A\cdot B_i = c_i I_n\quad \mbox{for }0 < i < n, \qquad -A B_0 = c_0 I_n. \,$

　　在等式兩邊t的i次項繫數分別乘以Aⁱ, 並將等式左右兩邊分別相加併合項得：

　　 $0=A^n+c_{n-1}A^{n-1}+\cdots+c_1A+c_0I_n= p(A).$

　　得證。

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凱萊-哈密頓定理的抽象化與推廣

　　前述證明用到繫數在 $k [t]$ 的矩陣的克萊姆法則，事實上該法則可施於任何繫數在交換環上的矩陣。藉此，凱萊-哈密頓定理可以推廣到一個交換環 $R$ 上的任何有限生成自由模 $M$ （向量空間是特例）。中山正引理的一種證明就用到這個技巧。

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凱萊-哈密頓定理的相關例子

　　舉例明之，考慮下述方陣：

　　 $A =\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}$

　　其特征多項式為

　　 $p(\lambda)=\begin{vmatrix}\lambda-1&-2\\-3&\lambda-4\end{vmatrix}=(\lambda-1)(\lambda-4)-2\cdot 3=\lambda^2-5\lambda-2.$

　　此時可以直接驗證凱萊-哈密頓定理：

　　 $A 2 - 5 A - 2 I 2 = 0$

　　此式可以簡化高次冪的運算，關鍵在於下述關係：

　　 $A 2 - 5 A - 2 I 2 = 0$

　　 $A 2 = 5 A + 2 I 2 .$

　　例如，為了計算 $A 4$ ，可以反覆利用上述關係式：

　　 $A 3 = (5 A + 2 I 2) A = 5 A 2 + 2 A = 5(5 A + 2 I 2) + 2 A = 27 A + 10 I 2$

　　 $A 4 = A 3 A = (27 A + 10 I 2) A = 27 A 2 + 10 A = 27(5 A + 2 I 2) + 10 A$

　　 $A 4 = 145 A + 54 I 2 .$

　　此外，凱萊-哈密頓定理也是計算特征向量的重要工具。

　　註：一般而言，若 $n \times n$ 矩陣 $A$ 可逆（即： $\det A \neq 0$ ），則 $A - 1$ 可以寫成 $A$ 的冪次和：特征多項式有如下形式

　　 $p(\lambda)=\lambda^n\rm tr} (A)\lambda^{n-1}+\cdots+(-1)^n\det(A),$

　　将方程式 $p (A) = 0$ 同乘以 $A - 1$ ，便得到

　　 $A^{-1}=\frac{(-1)^{n-1}}{\det(A)}(A^{n-1}\rm tr} (A)A^{n-2}+\cdots).$

取自"https://wiki.mbalib.com/zh-tw/%E5%87%AF%E8%8E%B1-%E5%93%88%E5%AF%86%E9%A1%BF%E5%AE%9A%E7%90%86"

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