凯莱-哈密顿定理

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什么是凯莱-哈密顿定理

  在线性代数中,凯莱-哈密顿定理(以数学家阿瑟•凯莱与威廉•卢云•哈密顿命名)表明每个布于任何交换环上的实或复方阵都满足其特征方程式。

  明确地说:设 A 为给定的 n \times n 矩阵,并设 Inn \times n 单位矩阵,则 A 的特征多项式定义为:

  p(\lambda)=\det(\lambda I_n-A)\,

  其中 det 表行列式函数。凯莱-哈密顿定理断言:

  p(A)=0.\,

  凯莱-哈密顿定理等价于方阵的特征多项式会被其极小多项式整除,这在寻找若尔当标准形时特别有用。

凯莱-哈密顿定理的证明

  以下考虑布于域 k = \mathbb{R}, \mathbb{C} 上的矩阵

  凯莱-哈密顿定理可以视为线性代数中克莱姆法则的推论。克莱姆法则断言:若 Sn \times n 矩阵,而 cof(S) 表其余因子矩阵,则

  S \cdot \mathrm{cof}(S)^t = \det (S) I_n

  取 S: = tInA,便得到 (tInA)cof(tInA)t = pA(t)In。此式对所有 t 皆成立,由于实数或复数域有无穷多元素,上式等式在多项式环 k[t] 内成立。

  设 M: = kn,矩阵 A 赋予 M 一个 k[t]-模结构:f(t) \cdot m = f(A)m。考虑 k[t]-模 M[t] := M \otimes_k k[t],我们有 k[t]-模之间的「求值态射」:

  e_A: M[t] \to M, \qquad M \otimes t^i \mapsto A^i m

  固定 m \in M,对 M[t] 中的等式

  (tI_n-A) \cdot \mathrm{cof}(tI_n-A)^t \,m = p_A(t) m

  右侧取 eA 后得到 pA(A)m,左侧取 eA 后得到 (A-A) \cdot (\cdots) = 0。明所欲证。

  一个简单的证明:

  令:

  B=\mbox{adj}(tI_n-A).\,

  由:

  S \cdot \mathrm{adj}(S) = \det (S) I_n

  得:

  (t I_n - A) \cdot B = \det(t I_n - A) I_n = p(t) I_n.

  将上式左边按t进行多项式展开得:

  p(t)I_n=(tI_n-A)*B=(tI_n-A)*\sum_{i = 0}^{n-1} t^i B_i

  =\sum_{i = 0}^{n-1}tI_n*t^i B_i-\sum_{i = 0}^{n-1} A*t^i B_i

  =\sum_{i = 0}^{n-1}t^{i+1}B_i-\sum_{i = 0}^{n-1}t^i A*B_i

  =t^n B_{n-1} + \sum_{i=1}^{n - 1}t^i(B_{i-1} - A*B_i)-A*B_0

  将上式右边展开得:

  p(t)I_n=t^nI_n+t^{n-1}c_{n-1}I_n+\cdots+tc_1I_n+c_0I_n

  因两多项式,他们的对应项系数相等得:

  B_{n - 1} = I_n, \qquad B_{i - 1} - A\cdot B_i = c_i I_n\quad \mbox{for }0 < i < n, \qquad -A B_0 = c_0 I_n. \,

  在等式两边t的i次项系数分别乘以Ai, 并将等式左右两边分别相加并合项得:

  0=A^n+c_{n-1}A^{n-1}+\cdots+c_1A+c_0I_n= p(A).

  得证。

凯莱-哈密顿定理的抽象化与推广

  前述证明用到系数在 k[t] 的矩阵的克莱姆法则,事实上该法则可施于任何系数在交换环上的矩阵。藉此,凯莱-哈密顿定理可以推广到一个交换环 R 上的任何有限生成自由模 M(向量空间是特例)。中山正引理的一种证明就用到这个技巧。

凯莱-哈密顿定理的相关例子

  举例明之,考虑下述方阵:

  A =\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}

  其特征多项式为

  p(\lambda)=\begin{vmatrix}\lambda-1&-2\\-3&\lambda-4\end{vmatrix}=(\lambda-1)(\lambda-4)-2\cdot 3=\lambda^2-5\lambda-2.

  此时可以直接验证凯莱-哈密顿定理:

  A2 − 5A − 2I2 = 0

  此式可以简化高次幂的运算,关键在于下述关系:

  A2 − 5A − 2I2 = 0

  A2 = 5A + 2I2.

  例如,为了计算 A4,可以反复利用上述关系式:

  A3 = (5A + 2I2)A = 5A2 + 2A = 5(5A + 2I2) + 2A = 27A + 10I2

  A4 = A3A = (27A + 10I2)A = 27A2 + 10A = 27(5A + 2I2) + 10A

  A4 = 145A + 54I2.

  此外,凯莱-哈密顿定理也是计算特征向量的重要工具。

  注:一般而言,若 n \times n 矩阵 A 可逆(即:\det A \neq 0),则 A − 1 可以写成 A 的幂次和:特征多项式有如下形式

  p(\lambda)=\lambda^n\rm tr} (A)\lambda^{n-1}+\cdots+(-1)^n\det(A),

  将方程式 p(A) = 0 同乘以 A − 1,便得到

  A^{-1}=\frac{(-1)^{n-1}}{\det(A)}(A^{n-1}\rm tr} (A)A^{n-2}+\cdots).

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