凯莱-哈密顿定理

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什么是凯莱-哈密顿定理

　　在线性代数中，凯莱-哈密顿定理（以数学家阿瑟•凯莱与威廉•卢云•哈密顿命名）表明每个布于任何交换环上的实或复方阵都满足其特征方程式。

　　明确地说：设 $A$ 为给定的 $n \times n$ 矩阵，并设 $I n$ 为 $n \times n$ 单位矩阵，则 $A$ 的特征多项式定义为：

　　 $p(\lambda)=\det(\lambda I_n-A)\,$

　　其中 det 表行列式函数。凯莱-哈密顿定理断言：

　　 $p(A)=0.\,$

　　凯莱-哈密顿定理等价于方阵的特征多项式会被其极小多项式整除，这在寻找若尔当标准形时特别有用。

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凯莱-哈密顿定理的证明

　　以下考虑布于域 $k = \mathbb{R}, \mathbb{C}$ 上的矩阵。

　　凯莱-哈密顿定理可以视为线性代数中克莱姆法则的推论。克莱姆法则断言：若 $S$ 是 $n \times n$ 矩阵，而 $cof(S)$ 表其余因子矩阵，则

　　 $S \cdot \mathrm{cof}(S)^t = \det (S) I_n$

　　取 $S : = t I n - A$ ，便得到 $(t I n - A)cof(t I n - A) t = p A (t) I n$ 。此式对所有 $t$ 皆成立，由于实数或复数域有无穷多元素，上式等式在多项式环 $k [t]$ 内成立。

　　设 $M : = k n$ ，矩阵 $A$ 赋予 $M$ 一个 $k [t]$ -模结构： $f(t) \cdot m = f(A)m$ 。考虑 $k [t]$ -模 $M[t] := M \otimes_k k[t]$ ，我们有 $k [t]$ -模之间的「求值态射」：

　　 $e_A: M[t] \to M, \qquad M \otimes t^i \mapsto A^i m$

　　固定 $m \in M$ ，对 $M [t]$ 中的等式

　　 $(tI_n-A) \cdot \mathrm{cof}(tI_n-A)^t \,m = p_A(t) m$

　　右侧取 $e A$ 后得到 $p A (A) m$ ，左侧取 $e A$ 后得到 $(A-A) \cdot (\cdots) = 0$ 。明所欲证。

　　一个简单的证明：

　　令：

　　 $B=\mbox{adj}(tI_n-A).\,$

　　由:

　　 $S \cdot \mathrm{adj}(S) = \det (S) I_n$

　　得：

　　 $(t I_n - A) \cdot B = \det(t I_n - A) I_n = p(t) I_n.$

　　将上式左边按t进行多项式展开得：

　　 $p(t)I_n=(tI_n-A)*B=(tI_n-A)*\sum_{i = 0}^{n-1} t^i B_i$

　　= $\sum_{i = 0}^{n-1}tI_n*t^i B_i-\sum_{i = 0}^{n-1} A*t^i B_i$

　　= $\sum_{i = 0}^{n-1}t^{i+1}B_i-\sum_{i = 0}^{n-1}t^i A*B_i$

　　= $t^n B_{n-1} + \sum_{i=1}^{n - 1}t^i(B_{i-1} - A*B_i)-A*B_0$

　　将上式右边展开得：

　　 $p(t)I_n=t^nI_n+t^{n-1}c_{n-1}I_n+\cdots+tc_1I_n+c_0I_n$

　　因两多项式，他们的对应项系数相等得：

　　 $B_{n - 1} = I_n, \qquad B_{i - 1} - A\cdot B_i = c_i I_n\quad \mbox{for }0 < i < n, \qquad -A B_0 = c_0 I_n. \,$

　　在等式两边t的i次项系数分别乘以Aⁱ, 并将等式左右两边分别相加并合项得：

　　 $0=A^n+c_{n-1}A^{n-1}+\cdots+c_1A+c_0I_n= p(A).$

　　得证。

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凯莱-哈密顿定理的抽象化与推广

　　前述证明用到系数在 $k [t]$ 的矩阵的克莱姆法则，事实上该法则可施于任何系数在交换环上的矩阵。藉此，凯莱-哈密顿定理可以推广到一个交换环 $R$ 上的任何有限生成自由模 $M$ （向量空间是特例）。中山正引理的一种证明就用到这个技巧。

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凯莱-哈密顿定理的相关例子

　　举例明之，考虑下述方阵：

　　 $A =\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}$

　　其特征多项式为

　　 $p(\lambda)=\begin{vmatrix}\lambda-1&-2\\-3&\lambda-4\end{vmatrix}=(\lambda-1)(\lambda-4)-2\cdot 3=\lambda^2-5\lambda-2.$

　　此时可以直接验证凯莱-哈密顿定理：

　　 $A 2 - 5 A - 2 I 2 = 0$

　　此式可以简化高次幂的运算，关键在于下述关系：

　　 $A 2 - 5 A - 2 I 2 = 0$

　　 $A 2 = 5 A + 2 I 2 .$

　　例如，为了计算 $A 4$ ，可以反复利用上述关系式：

　　 $A 3 = (5 A + 2 I 2) A = 5 A 2 + 2 A = 5(5 A + 2 I 2) + 2 A = 27 A + 10 I 2$

　　 $A 4 = A 3 A = (27 A + 10 I 2) A = 27 A 2 + 10 A = 27(5 A + 2 I 2) + 10 A$

　　 $A 4 = 145 A + 54 I 2 .$

　　此外，凯莱-哈密顿定理也是计算特征向量的重要工具。

　　注：一般而言，若 $n \times n$ 矩阵 $A$ 可逆（即： $\det A \neq 0$ ），则 $A - 1$ 可以写成 $A$ 的幂次和：特征多项式有如下形式

　　 $p(\lambda)=\lambda^n\rm tr} (A)\lambda^{n-1}+\cdots+(-1)^n\det(A),$

　　将方程式 $p (A) = 0$ 同乘以 $A - 1$ ，便得到

　　 $A^{-1}=\frac{(-1)^{n-1}}{\det(A)}(A^{n-1}\rm tr} (A)A^{n-2}+\cdots).$

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