克羅內克積

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　　克羅內克積是指兩個任意大小的矩陣間的運算，表示為。克羅內克積是張量積的特殊形式，以德國數學家利奧波德•克羅內克命名。

　　如果A是一個m×n的矩陣，而B是一個p×q的矩陣，克羅內克積則是一個mp×nq的分塊矩陣

　　更具體地可表示為

　　克羅內克積是張量積的特殊形式，因此滿足雙線性映射|雙線性與結合律：

，

，

，

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　　其中，A,B和C是矩陣，而k是常量。

　　克羅內克積不符合交換律：

　　通常，AB不同於BA。

　　AB和BA是排列等價的，也就是說，存在排列矩陣P和Q，使得:

　　如果A和B是方塊矩陣，則AB和BA甚至是排列相似矩陣|相似的，也就是說，我們可以取P=Q^T。

　　如果A、B、C和D是四個矩陣，且矩陣乘積AC和BD存在，那麼：

　　這個性質稱為“混合乘積性質”，因為它混合了通常的矩陣乘積和克羅內克積。於是可以推出，AB是可逆矩陣|可逆的當且僅當A和B是可逆的，其逆矩陣為：

　　如果A是n×n矩陣，B是m×m矩陣，表示k×k單位矩陣，那麼我們可以定義克羅內克和為：

　　假設A和B分別是大小為n和q的方塊矩陣。設λ₁，……，λ_n為A的特征值，μ₁，……，μ_q為B的特征值。那麼AB的特征值為：

λ_iμ_j,i=1,……，n;j=1,……,q。

　　於是可以推出，兩個矩陣的克羅內克積的跡和行列式為：

　　如果A和B是長方矩陣，那麼我們可以考慮它們的奇異值分解|奇異值。假設A有r_A個非零的奇異值，它們是：

σ_A,i,i=1,……,r_A

　　類似地，設B的非零奇異值為：

σ_B,i,i=1,……,r_B

　　那麼克羅內克積AB有r_Ar_B個非零奇異值，它們是：

σ_A,iσ_B,j, i=1,……,r_A, j=1,……,r_B

　　由於一個矩陣的秩等於非零奇異值的數目，因此我們有：

　　矩陣的克羅內克積對應於線性映射的抽象張量積。特別地，如果向量空間V、W、X和Y分別具有基{v₁,...,v_m}、{w₁,...,w_n}、{x₁,...,x_d}和{y₁,...,y_e}，且矩陣A和B分別在恰當的基中表示線性變換S:V→X和T:W→Y，那麼矩陣A⊗B表示兩個映射的張量積S⊗T:V⊗W→X⊗Y，關於V⊗W的基{v₁⊗w₁,v₁⊗w₂,...,v₂⊗w₁,...,v_m⊗w_n}和X⊗Y的類似基。

　　克羅內克積轉置運算符合分配律：

　　克羅內克積可以用來為一些矩陣方程得出方便的表示法。例如，考慮方程AXB=C，其中A、B和C是給定的矩陣，X是未知的矩陣。我們可以把這個方程重寫為

　　這樣，從克羅內克積的性質可以推出，方程AXB=C具有唯一的解，當且僅當A和B是非奇異矩陣。

　　在這裡，vec(X)表示矩陣X的向量化，它是把X的所有列堆起來所形成的列向量。

　　如果把X的行堆起來，形成列向量x，則AXB也可以寫為。

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