克罗内克积

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　　克罗内克积是指两个任意大小的矩阵间的运算，表示为。克罗内克积是张量积的特殊形式，以德国数学家利奥波德•克罗内克命名。

　　如果A是一个m×n的矩阵，而B是一个p×q的矩阵，克罗内克积则是一个mp×nq的分块矩阵

　　更具体地可表示为

　　克罗内克积是张量积的特殊形式，因此满足双线性映射|双线性与结合律：

，

，

，

。

　　其中，A,B和C是矩阵，而k是常量。

　　克罗内克积不符合交换律：

　　通常，AB不同于BA。

　　AB和BA是排列等价的，也就是说，存在排列矩阵P和Q，使得:

　　如果A和B是方块矩阵，则AB和BA甚至是排列相似矩阵|相似的，也就是说，我们可以取P=Q^T。

　　如果A、B、C和D是四个矩阵，且矩阵乘积AC和BD存在，那么：

　　这个性质称为“混合乘积性质”，因为它混合了通常的矩阵乘积和克罗内克积。于是可以推出，AB是可逆矩阵|可逆的当且仅当A和B是可逆的，其逆矩阵为：

　　如果A是n×n矩阵，B是m×m矩阵，表示k×k单位矩阵，那么我们可以定义克罗内克和为：

　　假设A和B分别是大小为n和q的方块矩阵。设λ₁，……，λ_n为A的特征值，μ₁，……，μ_q为B的特征值。那么AB的特征值为：

λ_iμ_j,i=1,……，n;j=1,……,q。

　　于是可以推出，两个矩阵的克罗内克积的迹和行列式为：

　　如果A和B是长方矩阵，那么我们可以考虑它们的奇异值分解|奇异值。假设A有r_A个非零的奇异值，它们是：

σ_A,i,i=1,……,r_A

　　类似地，设B的非零奇异值为：

σ_B,i,i=1,……,r_B

　　那么克罗内克积AB有r_Ar_B个非零奇异值，它们是：

σ_A,iσ_B,j, i=1,……,r_A, j=1,……,r_B

　　由于一个矩阵的秩等于非零奇异值的数目，因此我们有：

　　矩阵的克罗内克积对应于线性映射的抽象张量积。特别地，如果向量空间V、W、X和Y分别具有基{v₁,...,v_m}、{w₁,...,w_n}、{x₁,...,x_d}和{y₁,...,y_e}，且矩阵A和B分别在恰当的基中表示线性变换S:V→X和T:W→Y，那么矩阵A⊗B表示两个映射的张量积S⊗T:V⊗W→X⊗Y，关于V⊗W的基{v₁⊗w₁,v₁⊗w₂,...,v₂⊗w₁,...,v_m⊗w_n}和X⊗Y的类似基。

　　克罗内克积转置运算符合分配律：

　　克罗内克积可以用来为一些矩阵方程得出方便的表示法。例如，考虑方程AXB=C，其中A、B和C是给定的矩阵，X是未知的矩阵。我们可以把这个方程重写为

　　这样，从克罗内克积的性质可以推出，方程AXB=C具有唯一的解，当且仅当A和B是非奇异矩阵。

　　在这里，vec(X)表示矩阵X的向量化，它是把X的所有列堆起来所形成的列向量。

　　如果把X的行堆起来，形成列向量x，则AXB也可以写为。

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