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奇异值分解

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奇异值分解(Singular Value Decomposition)

目录

什么是奇异值分解

  奇异值分解是线性代数中一种重要的矩阵分解,在信号处理、统计学等领域有重要应用。奇异值分解在某些方面与对称矩阵或Hermitian矩阵基于特征矢量的对角化类似。然而这两种矩阵分解尽管有其相关性,但还是有明显的不同。对称阵特征矢量分解的基础是谱分析,而奇异值分解则是谱分析理论在任意矩阵上的推广。

理论描述

  假设M是一个m×n阶矩阵,其中的元素全部属于域K,也就是实数域或复数域。如此则存在一个分解使得

  M = U  \Sigma V^*, \,

  其中Um×m阶酉矩阵;Σ是m×n阶实数对角矩阵;而V*,即V的共轭转置,是n×n阶酉矩阵。这样的分解就称作M的奇异值分解。Σ对角线上的元素Σi,i即为M的奇异值。

  常见的做法是将奇异值由大而小排列。如此Σ便能由M唯一确定了。(虽然UV仍然不能确定。)

直观的解释

  在矩阵M的奇异值分解中

  M = U\Sigma V^*, \,

   V的列(columns)组成一套对M\,的正交"输入"或"分析"的基矢量。这些矢量是M^*\,M的特征矢量。

  U的列(columns)组成一套对M\,的正交"输出"的基矢量。这些矢量是MM^*\,的特征矢量。

  Σ对角线上的元素是奇异值,可视为是在输入与输出间进行的纯量的"膨胀控制"。这些是MM^*\,M^*\,M的特征值的非零平方根,并与UV的行矢量相对应。

奇异值和奇异矢量,以及他们与奇异值分解的关系

  一个非负实数σ是M的一个奇异值仅当存在Km的单位矢量uKn的单位矢量v如下:

  Mv = σu and M * u = σv

  其中矢量uv分别为σ的左奇异矢量和右奇异矢量。

  对于任意的奇异值分解

  M = U\Sigma V^{*} \,\!

  矩阵Σ的对角线上的元素等于M的奇异值. UV的列分别是奇异值中的左、右奇异矢量。因此,上述定理表明:

  一个m×n的矩阵至少有一个最多有p = min(m,n)个不同的奇异值;

  总能在Km中找到由M的左奇异矢量组成的一组正交基U,;

  总能在Kn找到由M的右奇异矢量组成的一组正交基V,。

  如果对于一个奇异值,可以找到两组线性无关的左(右)奇异矢量,则该奇异值称为简并的(或退化的)。

  非退化的奇异值在最多相差一个相位因子exp(iφ)(若讨论限定在实数域内,则最多相差一个正负号)的意义下具有唯一的左、右奇异矢量。因此,如果M的所有奇异值都是非退化且非零,则除去一个可以同时乘在U,V上的任意的相位因子外,M的奇异值分解唯一。

  根据定义,退化的奇异值具有不唯一的奇异矢量。因为,如果u1u2为奇异值σ的两个左奇异矢量,则它们的任意归一化线性组合也是奇异值σ一个左奇异矢量,右奇异矢量也具有类似的性质。因此,如果M具有退化的奇异值,则它的奇异值分解是不唯一的。

例子

  观察一个4×5的矩阵

M = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 3 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 4 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix}.

M矩阵的奇异值分解如下UΣV *

U = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix} ,\;  \Sigma = \begin{bmatrix} 4 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 3 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & \sqrt{5} & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix} ,\;  V^* = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ \sqrt{0.2} & 0 & 0 & 0 & \sqrt{0.8}\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\ \sqrt{0.8} & 0 & 0 & 0 & -\sqrt{0.2}\end{bmatrix}.

  注意矩阵Σ的所有非对角元为0。矩阵UV * 都是酉矩阵,它们乘上各自的共轭转置都得到单位矩阵。如下所示。在这个例子中,由于UV * 都是实矩阵,故它们都是正交矩阵。

U  U^* = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix}  \cdot  \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\end{bmatrix}  =  \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix}  \equiv I_4
V  V^* = \begin{bmatrix} 0 & 0 & \sqrt{0.2} & 0 & \sqrt{0.8}\\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & \sqrt{0.8} & 0 & -\sqrt{0.2} \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ \sqrt{0.2} & 0 & 0 & 0 & \sqrt{0.8}\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\ \sqrt{0.8} & 0 & 0 & 0 & -\sqrt{0.2}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix}  \equiv I_5.

  由于Σ有一个对角元是零,故这个奇异值分解值不是唯一的。例如,选择V使得

V^* = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ \sqrt{0.2} & 0 & 0 & 0 & \sqrt{0.8}\\ \sqrt{0.4} & 0 & 0 & \sqrt{0.5} & -\sqrt{0.1}\\ -\sqrt{0.4} & 0 & 0 & \sqrt{0.5} & \sqrt{0.1} \end{bmatrix}

能得到M的另一个奇异值分解。

奇异值分解与特征值分解的联系

  奇异值分解能够用于任意m\times n矩阵,而特征分解只能适用于特定类型的方阵,故奇异值分解的适用范围更广。不过,这两个分解之间是有关联的。给定一个M的奇异值分解,根据上面的论述,两者的关系式如下:

M^{*} M = V \Sigma^{*} U^{*}\, U \Sigma V^{*} = V (\Sigma^{*} \Sigma) V^{*}\,
M M^{*} = U \Sigma V^{*} \, V \Sigma^{*} U^{*} = U (\Sigma \Sigma^{*}) U^{*}\,

  关系式的右边描述了关系式左边的特征值分解。于是:

  V的列矢量(右奇异矢量)是M * M的特征矢量。

  U的列矢量(左奇异矢量)是MM * 的特征矢量。

  Σ的非零对角元(非零奇异值)是M * M或者MM * 的非零特征值的平方根。

  特殊情况下,当M是一个正规矩阵(因而必须是方阵)根据谱定理,M可以被一组特征矢量对角化,所以它可以表为:

  M = UDU *

  其中U为一个酉矩阵,D为一个对角阵。如果M是半正定的,M = UDU * 的分解也是一个奇异值分解。

  然而,一般矩阵的特征分解跟奇异值分解不同。特征分解如下:

  M = UDU − 1

  其中U是不需要是酉的,D也不需要是半正定的。而奇异值分解如下:

  M = UΣV *

  其中Σ是对角半正定矩阵,UV是酉矩阵,两者除了通过矩阵M没有必然的联系。

奇异值分解的应用

  奇异值分解可以被用来计算矩阵的伪逆。若矩阵M的奇异值分解为M = UΣV * ,那么M的伪逆为

M^+ = V \Sigma^+ U^*, \,

  其中Σ + Σ的伪逆,是将Σ主对角线上每个非零元素都求倒数之后再转置得到的。求伪逆通常可以用来求解最小二乘法问题。

  奇异值分解的另一个应用是给出矩阵的行空间与列空间|列空间、零空间和秩 (线性代数)|秩的表示。对角矩阵Σ的非零对角元素的个数对应于矩阵M的秩。与零奇异值对应的右奇异矢量线性生成空间|生成矩阵M的零空间,与非零奇异值对应的左奇异矢量则生成矩阵M的列空间。在线性代数数值计算中奇异值分解一般用于确定矩阵的有效秩,这是因为,由于舍入误差,秩亏矩阵的零奇异值可能会表现为很接近零的非零值。

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