債券定價原理

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　　1962年麥爾齊(Frederick Robertson Macaulay,1882.8.12–1970.3)^[1]在對債券價格、債券利息率、到期年限以及到期收益率之間進行了研究後，提出了債券定價的五個定理。至今，這五個定理仍被視為債券定價理論的經典。

　　圖中四種債券的收益-價格關係曲線可以說明下述5條法則。債券價格的利率敏感性可用y的絕對值長度來直接度量。

　定理一：債券的市場價格與到期收益率呈反向變動關係。（圖中，ABCD線都說明瞭這個反向關係。）

　　到期收益率上升時，債券價格會下降；反之，到期收益率下降時，債券價格會上升。這一定理對債券投資分析的價值在於，當投資者預測市場利率將要下降時，應及時買入債券，因為利率下降債券價格必然上漲；反之，當預測利率將要上升時，應賣出手中持有的債券，待價格下跌後再買回。

• Pv為債券當前市場價格，
• F=債券面值
• C為按票面利率每年支付的利息
• y為到期收益率，到期收益率 (Yield To Maturity，簡稱YTM)，又稱“滿期收益率”、“到期殖利率”（簡稱為殖利率）
• n為待償期，也叫剩餘到期年限

　　定理二：當債券的收益率不變，即債券的息票率與收益率之間的差額固定不變時，債券的到期時間與債券價格的波動幅度之間成正向變動關係。（比較圖中的A線和B線）

• 即到期時間越長，價格波動幅度越大；反之，到期時間越短，價格波動幅度越小。圖中B線到期時間長於A線的到期時間，收益率不變時x固定，B線的價格變動y的絕度值大於A的價格變動y。對投資者而言，如果預測市場利率將下降，在其他條件相同的前提下，應選擇離到期日較遠的債券投資。

• 隨著債券到期時間的臨近，債券價格的波動幅度減少，並且是以遞增的速度減少；反之，到期時間越長，債券價格波動幅度增加，並且是以遞減的速度增加。

• 這一定理說明：隨著到期日的臨近，債券價格對市場利率的敏感度以遞增的比率減少。即債券價格的利率敏感性的減少大於相應的債券期限的減少。圖中，B線逐漸靠近A線，

• 這一定理也說明：當到期期限增加時，債券價格對收益變化的敏感性以遞減的比率增加，即債券價格的利率敏感性的增加小於相應的債券期限的增加。

　　定理三：長期債券比短期債券具有更強的利率敏感性。（圖中，比較A線和B線，再比較A線和BCD線）

• 即對於等規模的收益變動，長期債券價格的變動幅度大於短期債券。

• 這一定理也可理解為，若兩種債券的其他條件相同，則期限較長的債券銷售價格波動較大，債券價格對市場利率變化較敏感；一旦市場利率有所變化，長期債券價格變動幅度大，潛在的收益和風險較大。

• 隨著債券到期時間的臨近，債券價格的波動幅度減少，並且是以遞增的速度減少；反之，到期時間越長，債券價格波動幅度增加，並且是以遞減的速度增加。

　　定理四：債券收益率變化引起的價格變化具有不對稱性。（圖中，ABCD線都說明瞭這個不對稱性。）

• 即由收益上升引起的價格下降幅度低於由收益的等規模（相同的基本點）下降引起的價格上升的幅度。

• 對於期限既定的債券，由收益率下降導致的債券價格上升的幅度大於同等幅度的收益率上升導致的債券價格下降的幅度。

　　這一定理說明債券價格對市場利率下降的敏感度比利率上升更大，這將幫助投資者在預期債券價格因利率變化而上漲或下跌能帶來多少收益時做出較為準確的判斷。

• 即對於同等幅度的收益率變動，收益率下降給投資者帶來的利潤大於收益率上升給投資者帶來的損失。

• ABCD線都說明瞭這個關係：收益率下降a，x為-a，價格變動為Y（-a）；收益率上什a，價格變動為Y（a）。Y（-a）的絕對值不等於並且大於Y（a）的絕對值。圖示，左邊的喇叭口要比右邊的喇叭口大。

　　定理五：對於給定的收益率變動幅度，債券的息票率與債券價格的波動幅度之間成反向變動關係（比較圖中的B線和C線）。

• 債券的息票利率越高/低，由收益變動引起的價格變動的百分比越小/大。

• 也就是說，息票利率較高的債券，其價格的利率敏感性低於息票利率較低的債券。

• 息票率越高，債券價格的波動幅度越小。圖中：B線的息票率高於C線的息票率，在同一x坐標中，但B線y坐標的絕對值小於C線y坐標的絕對值。

• 這一定理告訴投資者，對於到期日相同且到期收益率也相同的兩種債券。如果投資者預測市場利率將下降，則應該選擇買入票面利率較低的債券，因為一旦利率下降，這種債券價格上升的幅度較大。如果預測市場利率將上升，則應該選擇賣出票面利率較低的債券，因為一旦利率上升，這種債券價格下降的幅度較大。值得註意的是，這一定理不適用於1年期的債券和永久債券。

• 債券的面值P；
• 債券的票面利息C;
• 債券的有效期T;
• 是否可提前贖回；
• 是否可轉換；
• 流通性；
• 違約的可能性；

　　影響債券定價的外部因素有：

• 基準利率（即無風險利率）；
• 市場利率；
• 通貨膨脹率；

　　所謂零息債券即不支付利息，到期日一次性還本付息的債券，這種債券的定價公式最簡單，債券的價值v可用下式確定：

　　設債券每年一次性支付利息C（元），則債券的價值v為

　　​

　　如果每年支付的利息C按m次支付，則此債券的價格

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• 久期
• 麥考萊久期
• 凸性