相关系数

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相关系数(Correlation coefficient)

　　相关表和相关图可反映两个变量之间的相互关系及其相关方向，但无法确切地表明两个变量之间相关的程度。

　　著名统计学家卡尔·皮尔逊设计了统计指标——相关系数。相关系数是用以反映变量之间相关关系密切程度的统计指标。相关系数是按积差方法计算，同样以两变量与各自平均值的离差为基础，通过两个离差相乘来反映两变量之间相关程度；着重研究线性的单相关系数。

　　依据相关现象之间的不同特征，其统计指标的名称有所不同。如将反映两变量间线性相关关系的统计指标称为相关系数（相关系数的平方称为判定系数）；将反映两变量间曲线相关关系的统计指标称为非线性相关系数、非线性判定系数；将反映多元线性相关关系的统计指标称为复相关系数、复判定系数等。

　　相关关系是一种非确定性的关系，相关系数是研究变量之间线性相关程度的量。由于研究对象的不同，相关系数有如下几种定义方式。

　　简单相关系数：又叫相关系数或线性相关系数，一般用字母P 表示，是用来度量变量间的线性关系的量。

　　复相关系数：又叫多重相关系数。复相关是指因变量与多个自变量之间的相关关系。例如，某种商品的季节性需求量与其价格水平、职工收入水平等现象之间呈现复相关关系。

　　典型相关系数：是先对原来各组变量进行主成分分析，得到新的线性关系的综合指标，再通过综合指标之间的线性相关系数来研究原各组变量间相关关系。

　　(1)；

　　(2)定理： | ρ_XY | = 1的充要条件是，存在常数a，b，使得；

　　相关系数ρ_XY取值在-1到1之问，ρ_XY = 0时，

　　称X,Y不相关； | ρ_XY | = 1时，称X,Y完全相关，此时，X,Y之间具有线性函数关系； | ρ_XY | < 1时，X的变动引起Y的部分变动，ρ_XY的绝对值越大，X的变动引起Y的变动就越大， | ρ_XY | > 0.8时称为高度相关，当，即 | ρ_XY | < 0.3时，称为低度相关，其他为中度相关。

　　(3)推论：若Y=a+bX，则有

　　证明： 令E(X) = μ，D(X) = σ²

　　则E(Y) = bμ + a，D(Y) = b²σ²

　　E(XY) = E(aX + bX²) = aμ + b(σ² + μ²)

　　Cov(X,Y) = E(XY) − E(X)E(Y) = bσ²

　　若b≠0，则

　　若b=0，则ρ_XY = 0。

　　相关系数的公式如下:^[2]

　　　　(1)

　　　　(2)

　　　　(3)

　　　　(4)

　　　　(5)

　　相关系数的值介于–1与+1之间，即–1≤r≤+1。其性质如下：

• 当r>0时，表示两变量正相关，r<0时，两变量为负相关。
• 当|r|=1时，表示两变量为完全线性相关，即为函数关系。
• 当r=0时，表示两变量间无线性相关关系。
• 当0<|r|<1时，表示两变量存在一定程度的线性相关。且|r|越接近1，两变量间线性关系越密切；|r|越接近于0，表示两变量的线性相关越弱。
• 一般可按三级划分：|r|<0.4为低度线性相关；0.4≤|r|<0.7为显著性相关；0.7≤|r|<1为高度线性相关。

　　例:某财务软件公司在全国有许多代理商，为研究它的财务软件产品的广告投入与销售额的关系，统计人员随机选择10家代理商进行观察，搜集到年广告投入费和月平均销售额的数据，并编制成相关表，见表1:

　　表1　　广告费与月平均销售额相关表　　单位：万元

　　参照表1，可计算相关系数如表2：

=0.9942

　　相关系数为0.9942，说明广告投入费与月平均销售额之间有高度的线性正相关关系。 　　

　　1.在概率论计算中的应用

　　例1．若将一枚硬币抛n次，X表示n次试验中出现正面的次数，Y表示n次试验中出现反面的次数。计算ρ_XY。

　　解：由于X+Y=n，则Y=-X+n，根据相关系数的性质推论，得ρ_XY = − 1。

　　例2．已知随机变量X、Y分别服从正态分布N(1，9)，N(0，16)且X，Y的相关系数

　　设，求证X，Z相互独立。

　　证明：由已知得E(X)=1，D(X)=9，E(Y)= 0，D(Y) = 16

　　由于正态分布的随机变量的线性组合仍然服从正态分布，知Z是正态变量。

　　根据数学期望的性质有

　　根据方差的性质有得

　　由于 E(XY) = Cov(X,Y) + E(X)E(Y) = − 6，

　　E(X²) = D(X) + [E(X)]² = 10

　　ρ_XZ = 0，X，Z不相关。

　　由于正态随机变量的相互独立与互不相关等价，故X,Z相互独立。

　　因此，一般情况下两个随机变量不相关不一定相互独立。不相关仅指随机变量之问没有线性关系，而相互独立则表明随机变量之间互不影响，没有关系。

　　2.在企业物流上的应用

　　【例】一种新产品上市。在上市之前，公司的物流部需把新产品合理分配到全国的10个仓库，新品上市一个月后，要评估实际分配方案与之前考虑的其他分配方案中，是实际分配方案好还是其中尚未使用的分配方案更好，通过这样的评估，可以在下一次的新产品上市使用更准确的产品分配方案，以避免由于分配而产生的积压和断货。表1是根据实际数据所列的数表。

　　通过计算，很容易得出这3个分配方案中，B的相关系数是最大的，这样就评估到B的分配方案比实际分配方案A更好，在下一次的新产品上市分配计划中，就可以考虑用B这种分配方法来计算实际分配方案。

　　3.在聚类分析中的应用

　　【例】如果有若干个样品，每个样品有n个特征，则相关系数可以表示两个样品问的相似程度。借此，可以对样品的亲疏远近进行距离聚类。例如9个小麦品种(分别用A₁,A₂,...,A₉表示)的6个性状资料见表2，作相关系数计算并检验。

　　由相关系数计算公式可计算出6个性状间的相关系数，分析及检验结果见表3。由表3可以看出，冬季分蘖与每穗粒数之间呈现负相关(ρ = − 0.8982)，即麦冬季分蘖越多，那么每穗的小麦粒数越少，其他性状之间的关系不显著。

　　需要指出的是，相关系数有一个明显的缺点，即它接近于1的程度与数据组数n相关，这容易给人一种假象。因为，当n较小时，相关系数的波动较大，对有些样本相关系数的绝对值易接近于1；当n较大时，相关系数的绝对值容易偏小。特别是当n=2时，相关系数的绝对值总为1。因此在样本容量n较小时，我们仅凭相关系数较大就判定变量x与y之间有密切的线性关系是不妥当的。

　　例如，就我国深沪两股市资产负债率与每股收益之间的相关关系做研究。发现1999年资产负债率前40名的上市公司，二者的相关系数为r=–0.6139；资产负债率后20名的上市公司，二者的相关系数r=0.1072；而对于沪、深全部上市公司（基金除外）结果却是，r沪=–0.5509，r深=–0.4361，根据三级划分方法，两变量为显著性相关。这也说明仅凭r的计算值大小判断相关程度有一定的缺陷。