Ho-Lee模型

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　　1986年托馬斯·侯（Thomas.Y.Ho）和李尚賓（Sang-bing.Lee）二人在美國《金融雜誌》12月號上發表了論文《期限結構運動與利率有條件要求權定價》，文章中提出了一個基於無套利機會假設的利率期限結構變動模型，人們稱之為Ho-Lee模型。

　　Ho-Lee模型認為現在的利率期限結構包含有現時人們對利率預測的足夠信息，因此在沒有套利機會的假設下，利率期限結構的變動只能反映出這些信息，因而其變化情況是可測的。Ho-Lee模型分成兩個部分，一是利率期限結構變動的模型，另一部分是該模型在利率期權定價中的應用。

　　Ho-Lee模型考察貼現函數的變動，其最重要的部分是貼現函數的二元格點結構。對於貼現函數D_s,t( * )，在初始時刻為零狀態，記為D( * ) = D_0.0( * )，經過一時刻後，在時刻1，貼現函數可能出現兩種狀態：上升狀態和下降狀態，貼現函數分別為D_1.1( * )和D_0.1( * )，以後每經歷一個上升狀態，狀態下標s增加1，否則不增加；時間下標t在每一時刻後增加1。這樣，在時刻2有貼現函數D_2.2( * )，D_1,2( * )和D_0,2( * )。顯然，這裡出現一種路徑無關現象，即貼現函數經歷一次上升後下降D_0,0( * ) − − D_1,1( * ) − − D_1,2( * )和經歷一次下降後上升D_0,0( * ) − − D_0,1( * ) − − D_1,2( * )完全相同，D_s,t(T)只與經歷的上升次數和下降次數有關而與時間路徑無關。Ho-Lee模型將這種現象稱為貼現函數與路徑無關。

　　通常我們用收益率曲線而不用貼現函數來表示利率期限結構，因此須將貼現函數轉為收益率曲線形式，收益率曲線為：

　　R（T）= - LnD（T）/T （3）

　　其中R（T）是到期期限為T的貼現債券的連續複利收益率。

　　Ho-Lee模型的基本假設有以下幾點：

　　1、市場是無摩擦的，既無稅收費用，也不考慮交易費用，所有證券皆可分割。

　　2、市場並非連續出清，而是在有規則間隔的時點上出清。模型中以一段時隔為時間單位，定義期限為T的貼現債券為到第T期末償付1美元的債券。

　　3、市場是完全的。對每一期限n，均有相對應的貼現債券存在。（n=0,1,2,3……）

　　4、在每一時刻n，僅存在有限種狀態。定義為在時刻n、狀態i下期限為T的債券價格。這裡，是一以期限為變數的貼現債券價格函數，稱為貼現函數。貼現函數必須滿足下列條件：它們必須是正數，此外要求：

　　　　　　　　　　　　(1)

　　　　　　　　(2)

　　(1)式表明，貼現債券到期值為1美元。(2)表明期限極長的貼現債券之現值可忽略不計。

　　Ho-Lee模型是建立在無套利假設基礎上的，它現在已經成為分離時間框架基礎上利率期限結構模型的一般原則。Ho-Lee模型的主要內容有：

　　1、初始利率期限結構的估計。首先必須確定一個期限結構或相應貼現函數的初始狀態，一般來說要求所選擇的債券能覆蓋市場上大部分可得債券，並必須運用特定的函數形式，如指數形式。

　　2、利率變動的套利約束。利率期限結構被假設按滿足某種自然約束的方式進行變化，Ho-Lee模型假定貼現函數依據下列原則隨時間進行變化：

　　對所有（s,t）和T= 1,2,…,n,

　　　　　　　　(4)

　　和

　　　　　　(5)

　　其中hu(T)和hd(T)被稱為擾動函數(Perturbation function )。註意是在結點（s,t）處隱含的T期遠期利率。擾動函數hu(T)和hd(T)分別衡量了期限結構中上升狀態和下降狀態下利率同隱含遠期利率的差額，因此期限結構的波動性就隱含在擾動函數中。在Ho-Lee模型中hu(T)和hd(T)被簡化為與（s,t）無關而只與T有關。依據無套利假設，有D_s,t(0) = 1 ，且D_s,t(T + 1) > D_s,t(T)，對所有（s,t）和T= 1,2,…,n；由於無套利機會，因此在點（s,t）處存在參數π，是一個不隨（s,t）變化的常數，使得T期貼現函數在（s,t）的價格等於一時刻後債券價格的π權重線性組合的價值的現值，即:

　　，T= 1,2,…,n　　　　（6）

　　代入（4）、（5）式變化後，有：

　　πhd(T) + （1 - π）hu(T) = 1　　　　（7）

　　對於某一常數π和初始貼現函數D_0,0(T)，使得（7）式成立。

　　經過一番複雜的推導可以得到擾動函數hu(T)的唯一解為：

　　　　　　（8）

　　將（8）代入（7）式，得：

　　　　　　（9）

　　這樣，我們得到了擾動函數的一般表達式，只要給定參數π、δ，就可以由公式（8）、（9）得到Ho-Lee模型的一般表達式，即可由初始的貼現函數D0,0（T）和參數π、δ來完全確定利率期限結構的變化。特別地，在更複雜的Ho-Lee模型的推廣模型中，參數π、δ被看作是隨狀態s和時間t而變化。

　　Ho-Lee模型中的參數π被看作是一種風險中性概率，即恰好使得本時刻的T期限債券的價格等於本時刻後預期價格現值的概率，這一點反映在（6）中，因此π=（r-d）/（u-d），這裡r是無風險收益，u和d分別是上升狀態和下降狀態的無風險收益。參數δ的解釋稍稍複雜一些，正如Ho-Lee所指出的，δ決定了兩個擾動函數hu(T)和hd(T)間的差額，差額越大，則期限結構的可變性越大，因此參數δ同期限結構的可變性直接相關，而且呈負相關關係，即δ越大，波動性越小。這一點可以由（12）式可以看出:

　　δ= 1 /[（1 -π）hu(1)] -π/（1 -π）　　　　（10）

　　因此δ越大，hu(1)越小，即波動性越小。

　　Ho-Lee模型指出，參數π、δ的估計，必須使用非線性估計方法來決定，使得某些或有要求權的理論價格能最好地符合觀察到的價格。具體來說，是通過一個反覆試錯的過程來估計π、δ的值。首先觀察一組不同期限的或有要求權的價格，以此來計算初始的π、δ，隨後用它們來估計理論價格，再依據理論價格和觀察到價格之間的差價來調整π、δ，使得理論價格儘可能符合觀察到的價格。這一過程一直重覆下去，直到最後理論價格充分接近市場價格。

　　Ho-Lee模型用一種比較簡單的方式來模擬利率期限結構隨時間的可變性，這一模型使用從兩個市場數據估計出來的參數π、δ驅動的，它使得債券價格的變化過程沒有套利機會。由於它是由最初的利率期限結構決定的，因此它是一個相對定價模型，同時由最初期限結構的外生性決定利率期限結構的變化也是外生的，這不同於其他產生內在收益率曲線的模型，如短期利率隨機過程模型。

　　Ho-Lee模型有幾個不足之處：

　　1、它假設參數π、δ是不隨著（s,t）的變化而變化，這意味著隱含的價格波動性是獨立於時間變化的。但事實上，隨著到期期限的臨近，債券價格分佈也將自動回歸到到期平價，也就是說，隱含的波動性會隨時間的推移而變小。

　　2、根據Ho-Lee模型假設的限制和初始條件，可能出現負的遠期利率。Peter Ritchken & Kiekie Boenwan(1990)指出了這一缺陷並提出了修正方案，通過增加一個約束條件：

　　　　　　（11）

　　即可消除這一缺陷。

　　3、Ho-Lee模型隱含了一個所有利率的共同波動性，即長期利率和短期利率的波動性是相同的。但事實上長期利率的波動性要小於短期利率的波動性，這一點已經得到證明，即收益率曲線將隨期限增加變得越來越平坦。

　　利率期限結構的研究在我國還處於初始階段，這是由於我國的金融市場的實際情況決定的。利率期限結構研究首先要以利率市場化為前提，如果沒有實現利率市場化，利率不能隨資金市場供求關係的變化而變化，那麼利率期限結構就無從談起。

　　利率市場化和利率期限結構及其應用的研究是相互促進的兩個方面。利率市場化程度越高，利率受各種市場因素的影響就越大，利率就具有更大的可變性，這時為了防範利率風險或是為了進行利率投機，利率期限結構及其應用的研究會更加受到重視，從而促進研究的進一步開展。反之，利率期限結構在債券組合管理中的應用越廣泛，則債券管理人對市場利率的反應就更敏感，債券組合隨市場利率變化而調整的頻率就越高，這樣市場利率就越能夠反映市場各方力量對比，就越市場化。因此利率期限結構及其應用的研究和利率市場化程度密切相關，它以利率市場化為前提，同時又有利於利率的進一步市場化。隨著我國利率市場化步伐的加快，利率期限結構及其應用的研究將會受到更多的關註。