協方差

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協方差（Covariance,COV）

　　在概率論和統計學中，協方差用於衡量兩個變數的總體誤差。而方差是協方差的一種特殊情況，即當兩個變數是相同的情況。

　　期望值分別為E(X) = μ 與 E(Y) = ν 的兩個實數隨機變數X與Y之間的協方差定義為：

　　其中，E是期望值。它也可以表示為：

　　直觀上來看，協方差表示的是兩個變數總體的誤差，這與只表示一個變數誤差的方差不同。

　　如果兩個變數的變化趨勢一致，也就是說如果其中一個大於自身的期望值，另外一個也大於自身的期望值，那麼兩個變數之間的協方差就是正值。

　　如果兩個變數的變化趨勢相反，即其中一個大於自身的期望值，另外一個卻小於自身的期望值，那麼兩個變數之間的協方差就是負值。

　　如果X與Y是統計獨立的，那麼二者之間的協方差就是0。這是因為

　　但是，反過來並不成立。即如果X與Y的協方差為0，二者並不一定是統計獨立的。

　　協方差cov(X,Y)的度量單位是X的協方差乘以Y的協方差。而取決於協方差的相關性，是一個衡量線性獨立的無量綱的數。

　　協方差為0的兩個隨機變數稱為是不相關的。

　　如果X與Y是實數隨機變數，a與b不是隨機變數，那麼根據協方差的定義可以得到：

　　對於隨機變數序列X₁, ..., X_n 與 Y₁, ..., Y_m，有

　　對於隨機變數序列 X₁, ..., X_n，有

　　分別為m與n個標量元素的列向量隨機變數X與Y，二者對應的期望值分別為μ與ν，這兩個變數之間的協方差定義為m×n矩陣。

　　兩個向量變數的協方差cov(X,Y)與cov(Y,X)互為轉置矩陣。

　　協方差有時也稱為是兩個隨機變數之間“線性獨立性”的度量，但是這個含義與線性代數中嚴格的線性獨立性線性獨立不同。