ARMA模型

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ARMA模型(Auto-Regressive and Moving Average Model)

目錄

ARMA模型概述

  ARMA 模型(Auto-Regressive and Moving Average Model)是研究時間序列的重要方法,由自回歸模型(簡稱AR模型)與滑動平均模型(簡稱MA模型)為基礎“混合”構成。在市場研究中常用於長期追蹤資料的研究,如:Panel研究中,用於消費行為模式變遷研究;在零售研究中,用於具有季節變動特征的銷售量市場規模的預測等。

ARMA模型三種基本形式[1]

  1.自回歸模型(AR:Auto-regressive);

  自回歸模型AR(p):如果時間序列yt滿足y_t=\phi_1 y_{t-1}+\ldots+\phi y_{t-p}+\epsilon_t

  其中εt是獨立同分佈的隨機變數序列,且滿足:

  Et) = 0  Var(\epsilon_t)=\sigma^2_\epsilon>0

  則稱時間序列為yt服從p階的自回歸模型。或者記為φ(B)yt = εt

  自回歸模型的平穩條件:

  滯後運算元多項式\phi (B)=1-\phi_1(B)+\ldots+\phi_p B_p的根均在單位圓外,即φ(B) = 0的根大於1。

  2.移動平均模型(MA:Moving-Average)

  移動平均模型MA(q):如果時間序列yt滿足y_t=\epsilon_t-\theta_1\epsilon_{t-1}-\ldots-\theta_q\epsilon_{t-q}

  則稱時間序列為yt服從q階移動平均模型;

  移動平均模型平穩條件:任何條件下都平穩。

  3.混合模型(ARMA:Auto-regressive Moving-Average)

  ARMA(p,q)模型:如果時間序列yt滿足:y_t=\theta_1y_{t-1}+\ldots+\theta_p y_{t-p}+\epsilon_t-\theta_1\epsilon_{t-1}-\theta_q\epsilon_{t-q}

  則稱時間序列為yt服從(p,q)階自回歸滑動平均混合模型。或者記為φ(B)yt = θ(Bt

  特殊情況:q=0,模型即為AR(p),p=0,模型即為MA(q),

ARMA模型的基本原理

  將預測指標隨時間推移而形成的數據序列看作是一個隨機序列,這組隨機變數所具有的依存關係體現著原始數據在時間上的延續性。一方面,影響因素的影響,另一方面,又有自身變動規律,假定影響因素為x1,x2,…,xk,由回歸分析

  Y=\beta_0+\beta_1 x_1+\beta_2 x_2+\ldots+\beta_k x_k+e

  其中Y是預測對象的觀測值, e為誤差。作為預測對象Yt受到自身變化的影響,其規律可由下式體現,

  Y_t=\beta_0+\beta_1 x_{t-1}+\beta_2 x_{t-2}+\ldots+\beta_p x_{t-p}+e_t

  誤差項在不同時期具有依存關係,由下式表示,

  e_t=\alpha_0+\alpha_1 e_{t-1}+\alpha_2 e_{t-2}+\ldots+\alpha_q e_{t-q}+\mu_t

  由此,獲得ARMA模型表達式:

  Y_t=\beta_0+\beta_1 x_{t_1}+\beta_2 x_{t-2}+\ldots+\beta_p x_{t-q}+\alpha_0+\alpha_1 e_{t-1}\alpha_2 e_{t-2}+\ldots+\alpha_q e_{t-q}+\mu_t

參考文獻

  1. 徐國祥,馬俊玲.《統計預測和決策》學習指導與習題[M].上海財經大學出版社.ISBN:7-81098-492-6.2005
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評論(共7條)

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58.213.113.* 在 2007年12月4日 21:00 發表

在實際預測時,ut如何給出呢?

回複評論
124.234.121.* 在 2011年5月3日 21:46 發表

請問pq的值應如何獲得呢

回複評論
Yixi (討論 | 貢獻) 在 2011年5月4日 15:34 發表

124.234.121.* 在 2011年5月3日 21:46 發表

請問pq的值應如何獲得呢

內容已修正,附上參考文獻,希望對您有幫助!

回複評論
218.69.250.* 在 2011年12月17日 23:22 發表

124.234.121.* 在 2011年5月3日 21:46 發表

請問pq的值應如何獲得呢

可利用相關圖和偏自相關圖,也可利用AIC準則或BIC準則精確得到p和q的值。

回複評論
61.150.43.* 在 2013年12月28日 16:28 發表

有用,thank you.

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126.247.96.* 在 2016年5月25日 09:04 發表

ARMA的式子後半部分少了省略號吧

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210.26.113.* 在 2019年2月25日 15:26 發表

怎麼使用AIC準則

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