ARMA模型

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ARMA模型（Auto-Regressive and Moving Average Model）

　　ARMA 模型（Auto-Regressive and Moving Average Model）是研究時間序列的重要方法，由自回歸模型（簡稱AR模型）與滑動平均模型（簡稱MA模型）為基礎“混合”構成。在市場研究中常用於長期追蹤資料的研究，如：Panel研究中，用於消費行為模式變遷研究；在零售研究中，用於具有季節變動特征的銷售量、市場規模的預測等。

　　1.自回歸模型（AR：Auto-regressive）；

　　自回歸模型AR(p)：如果時間序列y_t滿足

　　其中ε_t是獨立同分佈的隨機變數序列，且滿足：

　　E(ε_t) = 0　　

　　則稱時間序列為y_t服從p階的自回歸模型。或者記為φ(B)y_t = ε_t。

　　自回歸模型的平穩條件：

　　滯後運算元多項式的根均在單位圓外，即φ(B) = 0的根大於1。

　　2.移動平均模型（MA：Moving-Average）

　　移動平均模型MA(q):如果時間序列y_t滿足

　　則稱時間序列為y_t服從q階移動平均模型；

　　移動平均模型平穩條件：任何條件下都平穩。

　　3.混合模型（ARMA：Auto-regressive Moving-Average）

　　ARMA(p,q)模型：如果時間序列y_t滿足：

　　則稱時間序列為y_t服從(p,q)階自回歸滑動平均混合模型。或者記為φ(B)y_t = θ(B)ε_t

　　特殊情況：q=0，模型即為AR(p)，p=0，模型即為MA(q)，

　　將預測指標隨時間推移而形成的數據序列看作是一個隨機序列，這組隨機變數所具有的依存關係體現著原始數據在時間上的延續性。一方面，影響因素的影響，另一方面，又有自身變動規律，假定影響因素為x1，x2，…，xk，由回歸分析，

　　其中Y是預測對象的觀測值， e為誤差。作為預測對象Yt受到自身變化的影響，其規律可由下式體現，

　　誤差項在不同時期具有依存關係，由下式表示，

　　由此，獲得ARMA模型表達式：