貝特朗悖論

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　　貝特朗悖論，考慮一個內接於圓的等邊三角形。若隨機選方圓上的個弦，則此弦的長度比三角形的邊較長的機率為何？

　　解法一：由於對稱性，可預先指定弦的方向。作垂直於此方向的直徑，只有交直徑於1/4 點與 3/4 點間的弦，其長才大於內接正三角形邊長。所有交點是等可能的,則所求概率為1/2 。此時假定弦的中心在直徑上均勻分佈。

　　解法二：由於對稱性，可預先固定弦的一端。僅當弦與過此端點的切線的交角在60°～ 120° 之間，其長才合乎要求。所有方向是等可能的，則所求概率為1/3 。此時假定端點在圓周上均勻分佈。

　　解法三： 弦被其中點位置唯一確定。只有當弦的中點落在半徑縮小了一半的同心圓內，其長才合乎要求。中點位置都是等可能的,則所求概率為1/4。此時假定弦長被其中心唯一確定。

　　這導致同一事件有不同概率，因此為悖論。

　　同一問題有三種不同答案，究其原因在於圓內“取弦”時規定尚不夠具體，不同的“等可能性假定”導致了不同的樣本空間，具體如下：其中“均勻分佈”應理解為“等可能取點”。

　　解法一中假定弦的中點在直徑上均勻分佈，直徑上的點組成樣本空間Ω1.

　　解法二中假定弦的另一端在圓周上均勻分佈，圓周上的點組成樣本空間Ω2.

　　解法三中假定弦的中點在大圓內均勻分佈，大圓內的點組成樣本空間Ω3.

　　可見，上述三個答案是針對三個不同樣本空間引起的，它們都是正確的，貝特朗悖論引起人們註意，在定義概率時要事先明確指出樣本空間是什麼。

　　實際上，所謂“悖論”一點也不悖。這隻是反映了選擇不同的坐標會導致不同的概率分配這一事實。至於哪一個分配是“正確”的，決定於事先確定的模型的如何應用或闡釋。

　　就以上悖論而言，造成這種現象的主要是在於條件的限制。若題目中出現“隨機”,“均勻分佈”,“等可能”這些字眼，則對應著此悖論中1,2.3條的結果。

　　貝特朗給出了三個論證，全都是明顯有效的，但導致的結果都不相同。 隨機的弦，方法1

　　“隨機半徑”方法：選擇一個圓的半徑和半徑上的一點，再畫出通過此點並垂直半徑的弦。為了計算問題的機率，可以想像三角形會旋轉，使得其一邊會垂直於半徑。可觀察到，若選擇的點比三角形和半徑相交的點要接近圓的中心，則弦的長度會比三角形的邊較長。三角形的邊會平分半徑，因此隨機的弦會比三角形的邊較長的機率亦為二分之一。 隨機的弦，方法2

　　“隨機端點”方法：在圓周上隨機選給兩點，並畫出連接兩點的弦。為了計算問題中的機率，可以想像三角形會旋轉，使得其頂點會碰到弦端點中的一點。可觀察到，若另一個弦端點在弦會穿過三角形的一邊的弧上，則弦的長度會比三角形的邊較長。而弧的長度是圓周的三分之一，因此隨機的弦會比三角形的邊較長的機率亦為三分之一。 隨機的弦，方法3

　　“隨機中點”方法：選擇圓內的任意一點，並畫出以此點為中點的弦。可觀察到，若選擇的點落在半徑只有大圓的半徑的二分之一的同心圓之內，則弦的長度會比三角形的邊較長。小圓的面積是大圓的四分之一，因此隨機的弦會比三角形的邊較長的機率亦為四分之一。

　　上述方法，得出每一個弦都可以被其中點唯一決定。上述三種方法會給出不同中點的分佈。方法1和方法2會給出兩種不同不均勻的分佈，而方法3則會給出一個均勻的方法。但另一方面，若直接看弦的分佈，方法2的弦會看起來比較均勻，而方法1和方法3的弦則較不均勻。