贝特朗悖论

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　　贝特朗悖论，考虑一个内接于圆的等边三角形。若随机选方圆上的个弦，则此弦的长度比三角形的边较长的机率为何？

　　解法一：由于对称性，可预先指定弦的方向。作垂直于此方向的直径，只有交直径于1/4 点与 3/4 点间的弦，其长才大于内接正三角形边长。所有交点是等可能的,则所求概率为1/2 。此时假定弦的中心在直径上均匀分布。

　　解法二：由于对称性，可预先固定弦的一端。仅当弦与过此端点的切线的交角在60°～ 120° 之间，其长才合乎要求。所有方向是等可能的，则所求概率为1/3 。此时假定端点在圆周上均匀分布。

　　解法三： 弦被其中点位置唯一确定。只有当弦的中点落在半径缩小了一半的同心圆内，其长才合乎要求。中点位置都是等可能的,则所求概率为1/4。此时假定弦长被其中心唯一确定。

　　这导致同一事件有不同概率，因此为悖论。

　　同一问题有三种不同答案，究其原因在于圆内“取弦”时规定尚不够具体，不同的“等可能性假定”导致了不同的样本空间，具体如下：其中“均匀分布”应理解为“等可能取点”。

　　解法一中假定弦的中点在直径上均匀分布，直径上的点组成样本空间Ω1.

　　解法二中假定弦的另一端在圆周上均匀分布，圆周上的点组成样本空间Ω2.

　　解法三中假定弦的中点在大圆内均匀分布，大圆内的点组成样本空间Ω3.

　　可见，上述三个答案是针对三个不同样本空间引起的，它们都是正确的，贝特朗悖论引起人们注意，在定义概率时要事先明确指出样本空间是什么。

　　实际上，所谓“悖论”一点也不悖。这只是反映了选择不同的坐标会导致不同的概率分配这一事实。至于哪一个分配是“正确”的，决定于事先确定的模型的如何应用或阐释。

　　就以上悖论而言，造成这种现象的主要是在于条件的限制。若题目中出现“随机”,“均匀分布”,“等可能”这些字眼，则对应着此悖论中1,2.3条的结果。

　　贝特朗给出了三个论证，全都是明显有效的，但导致的结果都不相同。 随机的弦，方法1

　　“随机半径”方法：选择一个圆的半径和半径上的一点，再画出通过此点并垂直半径的弦。为了计算问题的机率，可以想像三角形会旋转，使得其一边会垂直于半径。可观察到，若选择的点比三角形和半径相交的点要接近圆的中心，则弦的长度会比三角形的边较长。三角形的边会平分半径，因此随机的弦会比三角形的边较长的机率亦为二分之一。 随机的弦，方法2

　　“随机端点”方法：在圆周上随机选给两点，并画出连接两点的弦。为了计算问题中的机率，可以想像三角形会旋转，使得其顶点会碰到弦端点中的一点。可观察到，若另一个弦端点在弦会穿过三角形的一边的弧上，则弦的长度会比三角形的边较长。而弧的长度是圆周的三分之一，因此随机的弦会比三角形的边较长的机率亦为三分之一。 随机的弦，方法3

　　“随机中点”方法：选择圆内的任意一点，并画出以此点为中点的弦。可观察到，若选择的点落在半径只有大圆的半径的二分之一的同心圆之内，则弦的长度会比三角形的边较长。小圆的面积是大圆的四分之一，因此随机的弦会比三角形的边较长的机率亦为四分之一。

　　上述方法，得出每一个弦都可以被其中点唯一决定。上述三种方法会给出不同中点的分布。方法1和方法2会给出两种不同不均匀的分布，而方法3则会给出一个均匀的方法。但另一方面，若直接看弦的分布，方法2的弦会看起来比较均匀，而方法1和方法3的弦则较不均匀。