莖葉圖

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莖葉圖（Stem and leaf plot）

　　莖葉圖又稱“枝葉圖”，它的思路是將數組中的數按位數進行比較，將數的大小基本不變或變化不大的位作為一個主幹（莖），將變化大的位的數作為分枝（葉），列在主幹的後面，這樣就可以清楚地看到每個主幹後面的幾個數，每個數具體是多少。

　　莖葉圖有三列數：左邊的一列數統計數，它是上（或下）向中心累積的值，中心的數（帶括弧）表示最多數組的個數；中間的一列表示莖，也就是變化不大的位數；右邊的是數組中的變化位，它是按照一定的間隔將數組中的每個變化的數一一列出來，象一條枝上抽出的葉子一樣，所以人們形象地叫它莖葉圖。

　　莖葉圖是一個與直方圖相類似的特殊工具，但又與直方圖不同，莖葉圖保留原始資料的資訊，直方圖則失去原始資料的訊息。將莖葉圖莖和葉逆時針方向旋轉9O度，實際上就是一個直方圖，可以從中統計出次數，計算出各數據段的頻率或百分比。從而可以看出分佈是否與正態分佈或單峰偏態分佈逼近。

　　莖葉圖在質量管理上用途與直方圖差不多，但它通常是作為更細緻的分析階段使用。由於它是用數字組成直方圖，所以在做的時候比直方圖時，通常我們常使用專業的軟體進行繪製。

　　1、用莖葉圖表示數據有兩個優點：一是從統計圖上沒有原始數據信息的損失，所有數據信息都可以從莖葉圖中得到；二是莖葉圖中的數據可以隨時記錄，隨時添加，方便記錄與表示。

　　2、莖葉圖只便於表示兩位有效數字的數據，而且莖葉圖只方便記錄兩組的數據，兩個以上的數據雖然能夠記錄，但是沒有表示兩個記錄那麼直觀、清晰。

　　莖葉圖是將統計分組和次數分配一次完成，是探索性數據分析中對數據的初步形象描繪。其圖形直觀且保留原始信息，均值、中位數和眾數均可依原始數據準確方便地算出。現以某班一次考試成績為例，介紹莖葉圖的作法。

　　作圖過程是先作“莖”後填“葉”，將分組標誌(組距)視為莖，按數的大小從上到下(也可從下到上)排列。將每一個觀察值視為一個樹葉，每一個樹葉按照樹莖之要求長在應長的樹莖上。對於百分制的考試分數，先將高位數字按順序排成一列，後將每個分數的個位數為葉長在相應的莖上，最後將每莖上的葉按從大到小的排列。若人數較多，樹葉較長，可將高位數重覆兩次，個位數分為0～5一枝，5～9一枝。圖1即為最後完成的莖葉圖表。為了便於分析，可將1/4、3/4分位數及中位數用符號標出。

　　利用莖葉圖對考試成績進行評估

　　1、班級內成績評估

　　1）將莖葉圖莖和葉逆時針方向旋轉9O度，實際上就是一個班級成績帶有數字的直方圖，可以從中統計出次數，計算出各分數段的頻率或百分比，從它可以看出班級成績的分佈是否與正態分佈或單峰偏態分佈逼近。

　　2）若莖葉圖成績表扁而寬(如圖1)，說明該班整體成績較集中，成績差異不大；如果莖葉圖長而窄，說明該班成績較分散，標準差較大，高分低分差距大。這可使教師或校管理部門對學生成績有所瞭解。

　　3）異常成績的發現及處置。莖葉圖成績表中若有少數成績遠離中位數，如圖2中右側，說明這類學生與一般學生有質的區別，對於優秀的學生應加以培養，對於差的學生應找出根源加以幫助。這些異常值在計算標準差時可剔除，如圖2右側，x=77.1，標準差σ = 12.6，剔除異常值後，x=78.3，σ = 10.8，這樣可更科學地反映平均成績。

　　4)科學反映學生在班級中的名次。莖葉圖成績表中的成績被帶有方框的字分成4個區域，依次代表四個不同的水平，各層次學生都占總數的25％ 。例如，圖2對應的某一學生考了75分，在右側的二班是中等水平，而在左側的一班只屬下等水平，這樣比較避免了以絕對分數來判定學生的成績。

　　2、班級間學生的評估

　　要對平行班同一課程的成績比較，可將兩個班的成績作為葉長在同一莖上，分別自左右兩側擴張，如圖2對照起來，簡明多了。若要對多個班級成績進行比較，可將莖葉垂直方向平行移動，作為莖葉圖。先將莖葉圖看成直方圖觀察兩班成績整體分佈狀況。若兩班成績圖形均接近正態分佈且中位數接近，說明兩班的成績差別不大；若兩側的峰值相距較遠，中位數差別大，說明兩班總體成績相差較大。

　　1）若對同一教師任教的平行班莖葉圖表進行比較，先看1/4，3/4分位數和中位數，如果兩個班的中位數較接近，說明其成績沒有顯著性差異，如果中位數接近，而莖葉圖的形狀有較大差異，從總體上來看成績差異不大，但圖形長而窄的班級兩極分化較大，教學難度大。如果中位數差別較大，則說明兩個班級學生的基礎，學習風氣有較大差異。對不同教師平行班比較時，中位數高的班級整體水平較高。

　　2）計算出左右兩側的H一散佈，即1/4位數與3/4位數的差。圖(2)中左H一散佈為10分，右H一散佈為16分，由此看到左側中等水平的學生成績差距並不大，競爭激烈，而右圖中的中等水平之間差距較大，教學有一定的難度。

　　3、結論

　　莖葉圖法是數理統計中數據分析的一種方法，將它應用到成績評估中，可保留原始分數，對學生成績作出科學化評價。其特點是做法簡單，評價全面，為教師和教學管理部門提供了一種教學質量評估的方法。