波爾查諾－魏爾斯特拉斯定理

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1 什麼是波爾查諾－魏爾施特拉斯定理
2 波爾查諾－魏爾施特拉斯定理的歷史
3 波爾查諾－魏爾施特拉斯定理的基礎概念
4 波爾查諾－魏爾施特拉斯定理的內容
5 波爾查諾－魏爾施特拉斯定理的證明
6 波爾查諾－魏爾斯特拉斯定理的性質

什麼是波爾查諾－魏爾施特拉斯定理

　　波爾查諾－魏爾施特拉斯定理是指數學拓撲學與實分析中用以刻劃 $\mathbb {R}^n$ 中的緊集的基本定理，得名於數學家伯納德•波爾查諾與卡爾•魏爾施特拉斯。波爾查諾－魏爾斯特拉斯定理說明，有限維實數|實向量空間 $\mathbb {R}^n$ 中的一個子集 $E$ 是緊集序列（每個序列都有收斂子序列）當且僅當 $E$ 是有界閉集。

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波爾查諾－魏爾施特拉斯定理的歷史

　　這個定理最早由伯納德•波爾扎諾證明，當他在證明介值定理時，附帶證明瞭這個定理，但是他的證明已經散佚。卡爾•魏爾施特拉斯獨自發現並證明瞭這個定理。波爾扎諾-魏爾施特拉斯定理是實分析中的基本定理。

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波爾查諾－魏爾施特拉斯定理的基礎概念

　　子列：也稱為子序列。一個序列 $(a_n)_{n\in\mathbb {N}}$ 的一個子列是指在 $(a_n)_{n\in\mathbb {N}}$ 中抽取無窮多個元素，然後按照它們在原來序列里的順序排列起來的序列。嚴格的定義是：如果存在一個從 $\mathbb {N}$ 到 $\mathbb {N}$ 的嚴格單調遞增的映射 $φ$ ，使得 $b_{\phi (n)}=a_n,\;\forall n\in\mathbb {N}$ ，就稱 $(b_n)_{n\in\mathbb {N}}$ 是 $(a_n)_{n\in\mathbb {N}}$ 的一個子列。

　　有界閉集： $\mathbb {R}^n$ 中的有界閉集概念建立在給定的拓撲和度量上的。由於在有限維向量空間中所有度量等價，所以可以將 $\mathbb {R}^n$ 視為裝備了歐幾里德度量的度量空間（並且可以定義相應的範數）。 $\mathbb {R}^n$ 的子集 $E$ 有界，當且僅當所有 $E$ 中元素 $x$ 的範數小於一個給定常數 $K$ 。註意這時對應的拓撲是歐幾里德範數誘導的自然拓撲。

　　序列緊致：稱一個集合 $S$ 是序列緊致的，是指每個由集合 $S$ 中元素所組成的數列都包含極限(序列)|收斂的子列，並且該子列收斂到集合 $S$ 中的某個元素。

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波爾查諾－魏爾施特拉斯定理的內容

　　波爾查諾－魏爾斯特拉斯定理可以視為刻畫有限維實數向量空間 $\mathbb {R}^n$ 中序列緊致集合的定理。波爾查諾－魏爾斯特拉斯定理的核心部分可以僅僅使用序列的語言來表示：

　　定理1：

　　任一 $\mathbb {R}^n$ 中的有界序列 $(a_n)_{n\in\mathbb {N}}$ 都至少包含一個收斂的子列。

　　從這個定理出發，在給定的有界閉集 $F$ 中任取一個序列，那麼這個序列是有界的，從而至少包含一個收斂的子列。而從 $F$ 的封閉性可知，這個子列作為 $F$ 的一部分，其收斂的極限必然也在 $F$ 中。所以可以推知：

　　推論：

　　任一 $\mathbb {R}^n$ 中的有界閉集必然序列緊致。

　　這個推論給出了 $\mathbb {R}^n$ 中集合序列緊致的充分條件。另一方面，可以證明序列緊致的集合必然是有界閉集。這樣就將充分條件推進為充要條件：

　　 $\mathbb {R}^n$ 中的一個子集 $E$ 是序列緊致的，當且僅當 $E$ 是有界閉集。

　　由於有限維賦範向量空間都與裝備了歐幾里德範數的 $\mathbb {R}^n$ 同胚，所以以上的定理都可以擴展到任意有限維賦範向量空間。

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波爾查諾－魏爾施特拉斯定理的證明

　　證明的關鍵是定理的核心部分，也就是定理1：任一 $\mathbb {R}^n$ 中的有界序列 $(a_n)_{n\in\mathbb {N}}$ 都至少包含一個收斂的子列。

　　引理：

　　任何實數列必然包含單調函數的子列。

　　引理的證明：

　　設有實數列 $(a_n)_{n\in\mathbb {N}}$ ，定義集合： $X={a_k;\forall n\ge k,a_k\ge a_n}$ 。集合中的每個元素，都比序列中排在其後的所有元素都大。

　　如果 $X$ 中有無限個元素，在其中取下標遞增的一個數列，那麼這個數列是 $(a_n)_{n\ge 0}$ 的子列，並且單調遞減，構造完畢。

　　如果 $X$ 中元素個數有限，那麼設 $N$ 為 $X$ 中元素的下標中最大的一個。對任意 $n > N$ ，考慮 $a n$ ， $a n$ 不在集合 $X$ 中，所以 $a n$ 之後至少會有一個元素大於 $a n$ 。換句話說，序列 $(a_n)_{n\in\mathbb {N}}$ 裡面排在 $a N$ 後面的任一元素，它後面都必然還有一個比它大的元素。於是取 $k 0 = N + 1$ ， $k 1 > k 0$ 為第一個大於 $a_{k_0}$ 的元素的下標， $k 2 > k 1$ 為第一個大於 $a_{k_1}$ 的元素的下標，依此類推，就可以得到 $(a_n)_{n\in\mathbb {N}}$ 的一個單調遞增的子列。

　　綜上可得，任何實數列必然包含單調的子列。

　　定理的證明：

　　先考慮一維（也就是 $n = 1$ ）的情況。給定有界的實數列 $(a_k)_{k\in\mathbb {N}}$ ，取它的一個單調子列。不妨設這個子列單調遞增，由於數列有上界，依據單調收斂定理#單調實數序列的收斂性|數列的單調收斂定理，這個子列必然收斂。

　　對於高維（ $n\ge qslant2$ ）的情況，證明的思路是取多次子列。

　　設 $(a_k)_{k\in\mathbb {N}}=(a_{1k},a_{2k},\cdots,a_{nk})_{k\in\mathbb {N}}\in\mathbb {R}^n$ 為一個有界序列，則 $n$ 個實數列 $(a_{ik})_{k\in\mathbb {N}},1\le i\le n$ 都是有界數列。於是存在 $(a_k)_{k\in\mathbb {N}}$ 的子列 $(a_{\phi _1(k)})_{k\in\mathbb {N}}$ 使得 $(a_{1\phi _1(k)})_{k\in\mathbb {N}}$ 收斂。但是 $(a_{\phi _1(k)})_{k\in\mathbb {N}}$ 仍是有界數列，因而存在子列 $(a_{\phi _2(\phi _1(k))})_{k\in\mathbb {N}}$ 使得 $(a_{2\phi _2(\phi _1(k))})_{\in\mathbb {N}}$ 也收斂（註意這裡 $(a_{1\phi _2(\phi _1(k))})_{k\in\mathbb {N}}$ 必然是收斂的）。在進行類似的 $n$ 次操作後，我們就可以得到一個子列，使得 $\forall 1\le i\le n,(a_{i\phi_n(\cdot s\phi_2(\phi_1(k))\cdots)})_{k\in\mathbb {N}}$ 都收斂，也就是說存在子列 $(a_{\phi_n(\cdot s\phi_2(\phi_1(k))\cdot s)})_{k\in\mathbb {N}}$ 收斂。證畢。