波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理

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什么是波尔查诺-魏尔施特拉斯定理

  波尔查诺-魏尔施特拉斯定理是指数学拓扑学与实分析中用以刻划\mathbb {R}^n中的紧集的基本定理,得名于数学家伯纳德•波尔查诺与卡尔•魏尔施特拉斯。波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理说明,有限维实数|实向量空间\mathbb {R}^n中的一个子集E是紧集序列(每个序列都有收敛子序列)当且仅当E是有界闭集。

波尔查诺-魏尔施特拉斯定理的历史

  这个定理最早由伯纳德•波尔扎诺证明,当他在证明介值定理时,附带证明了这个定理,但是他的证明已经散佚。卡尔•魏尔施特拉斯独自发现并证明了这个定理。波尔扎诺-魏尔施特拉斯定理是实分析中的基本定理。

波尔查诺-魏尔施特拉斯定理的基础概念

  子列:也称为子序列。一个序列(a_n)_{n\in\mathbb {N}}的一个子列是指在(a_n)_{n\in\mathbb {N}}中抽取无穷多个元素,然后按照它们在原来序列里的顺序排列起来的序列。严格的定义是:如果存在一个从\mathbb {N}\mathbb {N}的严格单调递增的映射φ,使得b_{\phi (n)}=a_n,\;\forall n\in\mathbb {N},就称(b_n)_{n\in\mathbb {N}}(a_n)_{n\in\mathbb {N}}的一个子列。

  有界闭集:\mathbb {R}^n中的有界闭集概念建立在给定的拓扑和度量上的。由于在有限维向量空间中所有度量等价,所以可以将\mathbb {R}^n视为装备了欧几里德度量的度量空间(并且可以定义相应的范数)。\mathbb {R}^n的子集E有界,当且仅当所有E中元素x的范数小于一个给定常数K注意这时对应的拓扑是欧几里德范数诱导的自然拓扑。

  序列紧致:称一个集合S是序列紧致的,是指每个由集合S中元素所组成的数列都包含极限(序列)|收敛的子列,并且该子列收敛到集合S中的某个元素。

波尔查诺-魏尔施特拉斯定理的内容

  波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理可以视为刻画有限维实数向量空间\mathbb {R}^n中序列紧致集合的定理。波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理的核心部分可以仅仅使用序列的语言来表示:

  定理1:

  任一\mathbb {R}^n中的有界序列(a_n)_{n\in\mathbb {N}}都至少包含一个收敛的子列。

  从这个定理出发,在给定的有界闭集F中任取一个序列,那么这个序列是有界的,从而至少包含一个收敛的子列。而从F的封闭性可知,这个子列作为F的一部分,其收敛的极限必然也在F中。所以可以推知:

  推论:

  任一\mathbb {R}^n中的有界闭集必然序列紧致。

  这个推论给出了\mathbb {R}^n中集合序列紧致的充分条件。另一方面,可以证明序列紧致的集合必然是有界闭集。这样就将充分条件推进为充要条件:

  \mathbb {R}^n中的一个子集E是序列紧致的,当且仅当E是有界闭集。

  由于有限维赋范向量空间都与装备了欧几里德范数的\mathbb {R}^n同胚,所以以上的定理都可以扩展到任意有限维赋范向量空间。

波尔查诺-魏尔施特拉斯定理的证明

  证明的关键是定理的核心部分,也就是定理1:任一\mathbb {R}^n中的有界序列(a_n)_{n\in\mathbb {N}}都至少包含一个收敛的子列。

  引理:

  任何实数列必然包含单调函数的子列。

  引理的证明:

  设有实数列(a_n)_{n\in\mathbb {N}},定义集合:X={a_k;\forall n\ge k,a_k\ge a_n}。集合中的每个元素,都比序列中排在其后的所有元素都大。

  如果X中有无限个元素,在其中取下标递增的一个数列,那么这个数列是(a_n)_{n\ge 0}的子列,并且单调递减,构造完毕。

  如果X中元素个数有限,那么设NX中元素的下标中最大的一个。对任意n > N,考虑anan不在集合X中,所以an之后至少会有一个元素大于an。换句话说,序列(a_n)_{n\in\mathbb {N}}里面排在aN后面的任一元素,它后面都必然还有一个比它大的元素。于是取k0 = N + 1k1 > k0为第一个大于a_{k_0}的元素的下标,k2 > k1为第一个大于a_{k_1}的元素的下标,依此类推,就可以得到(a_n)_{n\in\mathbb {N}}的一个单调递增的子列。

  综上可得,任何实数列必然包含单调的子列。

  定理的证明:

  先考虑一维(也就是n = 1)的情况。给定有界的实数列(a_k)_{k\in\mathbb {N}},取它的一个单调子列。不妨设这个子列单调递增,由于数列有上界,依据单调收敛定理#单调实数序列的收敛性|数列的单调收敛定理,这个子列必然收敛。

  对于高维(n\ge qslant2)的情况,证明的思路是取多次子列。

  设(a_k)_{k\in\mathbb {N}}=(a_{1k},a_{2k},\cdots,a_{nk})_{k\in\mathbb {N}}\in\mathbb {R}^n为一个有界序列,则n个实数列(a_{ik})_{k\in\mathbb {N}},1\le i\le n都是有界数列。于是存在(a_k)_{k\in\mathbb {N}}的子列(a_{\phi _1(k)})_{k\in\mathbb {N}}使得(a_{1\phi _1(k)})_{k\in\mathbb {N}}收敛。但是(a_{\phi _1(k)})_{k\in\mathbb {N}}仍是有界数列,因而存在子列(a_{\phi _2(\phi _1(k))})_{k\in\mathbb {N}}使得(a_{2\phi _2(\phi _1(k))})_{\in\mathbb {N}}也收敛(注意这里(a_{1\phi _2(\phi _1(k))})_{k\in\mathbb {N}}必然是收敛的)。在进行类似的n次操作后,我们就可以得到一个子列,使得\forall 1\le i\le n,(a_{i\phi_n(\cdot s\phi_2(\phi_1(k))\cdots)})_{k\in\mathbb {N}}都收敛,也就是说存在子列(a_{\phi_n(\cdot s\phi_2(\phi_1(k))\cdot s)})_{k\in\mathbb {N}}收敛。证毕。

波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理的性质

  在有限维度量空间中,波尔查诺-魏尔斯特拉斯说明了序列紧致的集合就是有界闭集。然而在一般的度量空间中,有界闭集不一定是序列紧致的。为此,拓扑学中将一般度量空间中的序列紧致称为波尔查诺-魏尔斯特拉斯性质。

  定义:

  设K为度量空间(E;\;d)的子集。若K中任一序列(a_n)_{n\in\mathbb {N}}都包含一个收敛的子列,其极限也是K中元素,就称K具有波尔查诺-魏尔斯特拉斯性质。

  如果度量空间本身满足波尔查诺-魏尔斯特拉斯性质,就称这个度量空间为紧空间。在测度空间中,波尔查诺-魏尔斯特拉斯性质等价于海恩-波莱尔性质:所有K的开覆盖都有限集合覆盖。

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