波尔查诺－魏尔斯特拉斯定理

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1 什么是波尔查诺－魏尔施特拉斯定理
2 波尔查诺－魏尔施特拉斯定理的历史
3 波尔查诺－魏尔施特拉斯定理的基础概念
4 波尔查诺－魏尔施特拉斯定理的内容
5 波尔查诺－魏尔施特拉斯定理的证明
6 波尔查诺－魏尔斯特拉斯定理的性质

什么是波尔查诺－魏尔施特拉斯定理

　　波尔查诺－魏尔施特拉斯定理是指数学拓扑学与实分析中用以刻划 $\mathbb {R}^n$ 中的紧集的基本定理，得名于数学家伯纳德•波尔查诺与卡尔•魏尔施特拉斯。波尔查诺－魏尔斯特拉斯定理说明，有限维实数|实向量空间 $\mathbb {R}^n$ 中的一个子集 $E$ 是紧集序列（每个序列都有收敛子序列）当且仅当 $E$ 是有界闭集。

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波尔查诺－魏尔施特拉斯定理的历史

　　这个定理最早由伯纳德•波尔扎诺证明，当他在证明介值定理时，附带证明了这个定理，但是他的证明已经散佚。卡尔•魏尔施特拉斯独自发现并证明了这个定理。波尔扎诺-魏尔施特拉斯定理是实分析中的基本定理。

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波尔查诺－魏尔施特拉斯定理的基础概念

　　子列：也称为子序列。一个序列 $(a_n)_{n\in\mathbb {N}}$ 的一个子列是指在 $(a_n)_{n\in\mathbb {N}}$ 中抽取无穷多个元素，然后按照它们在原来序列里的顺序排列起来的序列。严格的定义是：如果存在一个从 $\mathbb {N}$ 到 $\mathbb {N}$ 的严格单调递增的映射 $φ$ ，使得 $b_{\phi (n)}=a_n,\;\forall n\in\mathbb {N}$ ，就称 $(b_n)_{n\in\mathbb {N}}$ 是 $(a_n)_{n\in\mathbb {N}}$ 的一个子列。

　　有界闭集： $\mathbb {R}^n$ 中的有界闭集概念建立在给定的拓扑和度量上的。由于在有限维向量空间中所有度量等价，所以可以将 $\mathbb {R}^n$ 视为装备了欧几里德度量的度量空间（并且可以定义相应的范数）。 $\mathbb {R}^n$ 的子集 $E$ 有界，当且仅当所有 $E$ 中元素 $x$ 的范数小于一个给定常数 $K$ 。注意这时对应的拓扑是欧几里德范数诱导的自然拓扑。

　　序列紧致：称一个集合 $S$ 是序列紧致的，是指每个由集合 $S$ 中元素所组成的数列都包含极限(序列)|收敛的子列，并且该子列收敛到集合 $S$ 中的某个元素。

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波尔查诺－魏尔施特拉斯定理的内容

　　波尔查诺－魏尔斯特拉斯定理可以视为刻画有限维实数向量空间 $\mathbb {R}^n$ 中序列紧致集合的定理。波尔查诺－魏尔斯特拉斯定理的核心部分可以仅仅使用序列的语言来表示：

　　定理1：

　　任一 $\mathbb {R}^n$ 中的有界序列 $(a_n)_{n\in\mathbb {N}}$ 都至少包含一个收敛的子列。

　　从这个定理出发，在给定的有界闭集 $F$ 中任取一个序列，那么这个序列是有界的，从而至少包含一个收敛的子列。而从 $F$ 的封闭性可知，这个子列作为 $F$ 的一部分，其收敛的极限必然也在 $F$ 中。所以可以推知：

　　推论：

　　任一 $\mathbb {R}^n$ 中的有界闭集必然序列紧致。

　　这个推论给出了 $\mathbb {R}^n$ 中集合序列紧致的充分条件。另一方面，可以证明序列紧致的集合必然是有界闭集。这样就将充分条件推进为充要条件：

　　 $\mathbb {R}^n$ 中的一个子集 $E$ 是序列紧致的，当且仅当 $E$ 是有界闭集。

　　由于有限维赋范向量空间都与装备了欧几里德范数的 $\mathbb {R}^n$ 同胚，所以以上的定理都可以扩展到任意有限维赋范向量空间。

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波尔查诺－魏尔施特拉斯定理的证明

　　证明的关键是定理的核心部分，也就是定理1：任一 $\mathbb {R}^n$ 中的有界序列 $(a_n)_{n\in\mathbb {N}}$ 都至少包含一个收敛的子列。

　　引理：

　　任何实数列必然包含单调函数的子列。

　　引理的证明：

　　设有实数列 $(a_n)_{n\in\mathbb {N}}$ ，定义集合： $X={a_k;\forall n\ge k,a_k\ge a_n}$ 。集合中的每个元素，都比序列中排在其后的所有元素都大。

　　如果 $X$ 中有无限个元素，在其中取下标递增的一个数列，那么这个数列是 $(a_n)_{n\ge 0}$ 的子列，并且单调递减，构造完毕。

　　如果 $X$ 中元素个数有限，那么设 $N$ 为 $X$ 中元素的下标中最大的一个。对任意 $n > N$ ，考虑 $a n$ ， $a n$ 不在集合 $X$ 中，所以 $a n$ 之后至少会有一个元素大于 $a n$ 。换句话说，序列 $(a_n)_{n\in\mathbb {N}}$ 里面排在 $a N$ 后面的任一元素，它后面都必然还有一个比它大的元素。于是取 $k 0 = N + 1$ ， $k 1 > k 0$ 为第一个大于 $a_{k_0}$ 的元素的下标， $k 2 > k 1$ 为第一个大于 $a_{k_1}$ 的元素的下标，依此类推，就可以得到 $(a_n)_{n\in\mathbb {N}}$ 的一个单调递增的子列。

　　综上可得，任何实数列必然包含单调的子列。

　　定理的证明：

　　先考虑一维（也就是 $n = 1$ ）的情况。给定有界的实数列 $(a_k)_{k\in\mathbb {N}}$ ，取它的一个单调子列。不妨设这个子列单调递增，由于数列有上界，依据单调收敛定理#单调实数序列的收敛性|数列的单调收敛定理，这个子列必然收敛。

　　对于高维（ $n\ge qslant2$ ）的情况，证明的思路是取多次子列。

　　设 $(a_k)_{k\in\mathbb {N}}=(a_{1k},a_{2k},\cdots,a_{nk})_{k\in\mathbb {N}}\in\mathbb {R}^n$ 为一个有界序列，则 $n$ 个实数列 $(a_{ik})_{k\in\mathbb {N}},1\le i\le n$ 都是有界数列。于是存在 $(a_k)_{k\in\mathbb {N}}$ 的子列 $(a_{\phi _1(k)})_{k\in\mathbb {N}}$ 使得 $(a_{1\phi _1(k)})_{k\in\mathbb {N}}$ 收敛。但是 $(a_{\phi _1(k)})_{k\in\mathbb {N}}$ 仍是有界数列，因而存在子列 $(a_{\phi _2(\phi _1(k))})_{k\in\mathbb {N}}$ 使得 $(a_{2\phi _2(\phi _1(k))})_{\in\mathbb {N}}$ 也收敛（注意这里 $(a_{1\phi _2(\phi _1(k))})_{k\in\mathbb {N}}$ 必然是收敛的）。在进行类似的 $n$ 次操作后，我们就可以得到一个子列，使得 $\forall 1\le i\le n,(a_{i\phi_n(\cdot s\phi_2(\phi_1(k))\cdots)})_{k\in\mathbb {N}}$ 都收敛，也就是说存在子列 $(a_{\phi_n(\cdot s\phi_2(\phi_1(k))\cdot s)})_{k\in\mathbb {N}}$ 收敛。证毕。