法圖引理

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法圖引理(Fatou lemma)

什麼是法圖引理

　　在測度論中，法圖引理是指一個函數列的下極限的勒貝格積分和其積分的下極限的不等關係。法圖引理的名稱來源於法國數學家皮埃爾•法圖（Pierre Fatou），被用來證明測度論中的法圖-勒貝格定理和勒貝格控制收斂定理。

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法圖引理的內容

　　設 $\scriptstyle (S,\Sigma,\mu)$ 為一個測度空間， $\scriptstyle (f_n)_{n \ge 0}$ 是一個實值的可測正值函數列。那麼：

　　 $\int_S \liminf_{n\to\infty} f_n\,d\mu \le \liminf_{n\to\infty} \int_S f_n\,d\mu$

　　其中的函數極限是在逐點收斂的意義上的極限，函數的取值和積分可以是無窮大。

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法圖引理的證明

　　定理的證明基於單調收斂定理（非常容易證明）。設 $\scriptstyle f$ 為函數列 $\scriptstyle (f_n)_{n \ge 0}$ 的下極限。對每個正整數 k ，逐點定義下極限函數：

　　 $g_k=\inf_{n\ge k}f_n.$

　　於是函數列g₁, g₂, . . .單調遞增並趨於 $\scriptstyle f$ 。

　　任意k ≤ n，我們有g_k ≤ f_n，因此

　　 $\int_S g_k\,d\mu\le \int_S f_n\,d\mu,$

　　於是

　　 $\int_S g_k\,d\mu\le\inf_{n\ge k}\int_S f_n\,d\mu.$

　　據此，由單調收斂定理以及下極限的定義，就有：

　　 $\int_S \liminf_{n\to\infty} f_n\,d\mu=\lim_{k\to\infty}\int_S g_k\,d\mu\le\lim_{k\to\infty} \inf_{n\ge k}\int_S f_n\,d\mu=\liminf_{n\to\infty} \int_S f_n\,d\mu\,.$

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法圖引理的反向法

　　令 $\scriptstyle (f_n)$ 為測度空間(S,Σ,μ)中的一列可測函數，函數的值域為擴展的實數軸。如果存在一個在 S 上可積的正值函數 g ，使得對所有的 n 都有 $\scriptstyle f_n \le g$ ，那麼

　　 $\int_S\limsup_{n\to\infty}f_n\,d\mu\ge\limsup_{n\to\infty}\int_Sf_n\,d\mu$

　　這裡 $\scriptstyle g$ 只需弱可積，即 $\textstyle\int_S g\,d\mu<\infty$ 。

　　證明：對函數列 $\scriptstyle (g - f_n)$ 應用法圖引理即可。

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法圖引理的推廣

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推廣到任意實值函數

　　法圖引理不僅對取正值的函數列成立，在一定限制條件下，可以擴展到任意的實值函數。令 $\scriptstyle (f_n)_{n \ge 0}$ 為測度空間(S,Σ,μ)中的一列可測函數，函數的值域為擴展的實數軸。如果存在一個在 S 上可積的正值函數 g ，使得對所有的 n 都有 $\scriptstyle f_n \ge g$ ，那麼