法图引理

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法图引理(Fatou lemma)

目录

什么是法图引理

  在测度论中,法图引理是指一个函数列的下极限的勒贝格积分和其积分的下极限的不等关系。法图引理的名称来源于法国数学家皮埃尔•法图(Pierre Fatou),被用来证明测度论中的法图-勒贝格定理和勒贝格控制收敛定理。

法图引理的内容

  设\scriptstyle (S,\Sigma,\mu)为一个测度空间, \scriptstyle (f_n)_{n \ge 0}是一个实值的可测正值函数列。那么:

  \int_S \liminf_{n\to\infty} f_n\,d\mu \le \liminf_{n\to\infty} \int_S f_n\,d\mu

  其中的函数极限是在逐点收敛的意义上的极限,函数的取值和积分可以是无穷大。

法图引理的证明

  定理的证明基于单调收敛定理(非常容易证明)。设\scriptstyle f为函数列\scriptstyle (f_n)_{n \ge 0} 的下极限。对每个正整数 k ,逐点定义下极限函数:

  g_k=\inf_{n\ge k}f_n.

  于是函数列g1, g2, . . .单调递增并趋于\scriptstyle f

  任意k ≤ n,我们有gk ≤ fn,因此

  \int_S g_k\,d\mu\le \int_S f_n\,d\mu,

  于是

  \int_S g_k\,d\mu\le\inf_{n\ge k}\int_S f_n\,d\mu.

  据此,由单调收敛定理以及下极限的定义,就有:

  \int_S \liminf_{n\to\infty} f_n\,d\mu=\lim_{k\to\infty}\int_S g_k\,d\mu\le\lim_{k\to\infty} \inf_{n\ge k}\int_S f_n\,d\mu=\liminf_{n\to\infty} \int_S f_n\,d\mu\,.

法图引理的反向法

  令\scriptstyle (f_n)为测度空间(S,Σ,μ)中的一列可测函数,函数的值域为扩展的实数轴。如果存在一个在 S 上可积的正值函数 g ,使得对所有的 n 都有\scriptstyle f_n \le g,那么

  \int_S\limsup_{n\to\infty}f_n\,d\mu\ge\limsup_{n\to\infty}\int_Sf_n\,d\mu

  这里\scriptstyle g只需弱可积,即\textstyle\int_S g\,d\mu<\infty

  证明:对函数列\scriptstyle (g - f_n)应用法图引理即可。

法图引理的推广

推广到任意实值函数

  法图引理不仅对取正值的函数列成立,在一定限制条件下,可以扩展到任意的实值函数。令\scriptstyle (f_n)_{n \ge 0}为测度空间(S,Σ,μ)中的一列可测函数,函数的值域为扩展的实数轴。如果存在一个在 S 上可积的正值函数 g ,使得对所有的 n 都有\scriptstyle f_n \ge  g,那么

  证明:对函数列\scriptstyle ( f_n - g )应用法图引理即可。

逐点收敛

  在以上的条件下,如果函数列在S上μ-几乎处处逐点收敛到一个函数\scriptstyle f,那么

  \int_S f\,d\mu \le \liminf_{n\to\infty} \int_S f_n\,d\mu\,.

  证明:\scriptstyle f是函数列的极限,因此自然是下极限。此外,零测集上的差异对于积分值没有影响。

依测度收敛

  如果函数列在S上依测度收敛到\scriptstyle f,那么上面的命题仍然成立。

  证明:存在\scriptstyle (f_n)的一个子列使得

 \lim_{k\to\infty} \int_S f_{n_k}\,d\mu=\liminf_{n\to\infty} \int_S f_n\,d\mu\,.

  这个子列仍然依测度收敛到\scriptstyle f,于是又存在这个子列的一个子列在S 上μ-几乎处处逐点收敛到\scriptstyle f,于是命题成立。

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