模態邏輯
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模態邏輯，邏輯的一個分支，它研究必然、可能及其相關概念的邏輯性質。
模態邏輯或者叫（不很常見）內涵邏輯，是處理用模態如“可能”、“或許”、“可以”、“一定”、“必然”等限定的句子的邏輯。模態邏輯可以用語義的“內涵性”來描述其特征：複雜公式的真值不能由子公式的真值來決定的。允許這種決定性的邏輯是“外延性的”，經典邏輯就是外延性的例子。模態運算元不能使用外延語義來形式化：“喬治·布希是美國總統”和“2 + 2 = 4”是真的，但是“喬治·布希必然是美國總統”是假的，而“2 + 2 = 4是必然的”是真的。
在模態邏輯的最常見解釋中，你要考慮“所有邏輯上可能的世界”。如果一個陳述在所有可能世界中是真的，則它是必然的真理。如果一個陳述碰巧在我們的世界中是真的，但不是在所有可能世界中是真的，則它是偶然的真理。在某些（不是必須在我們自己的）可能世界中是真的陳述叫做可能的真理。
這種"可能世界"是否是解釋模態邏輯的最佳方式，怎樣在文字上接受這種方言，是形而上學的鮮活的問題。例如，可能世界的方言可以把關於大腳怪的斷言翻譯為“有某個可能世界，在其中大腳怪存在”。要主張大腳怪的存在性是可能的，但不是現實的，你可以說“有某個可能世界，在其中大腳怪存在；但是在現實世界中，大腳怪不存在”。但是對使模態斷言對我們負責的那個東西是什麼仍是不清楚的。我們真的要宣稱可能世界的存在性嗎？它在每一點都同我們的現實世界一樣真實，卻惟獨不是現實的。David Lewis強硬的說就是這樣，可能世界同我們自己的世界一樣真實。這種立場叫做“模態現實主義”。不足為奇的，多數哲學家不願意接受這種特別的學說，在搜尋一種可替代的方式來釋義我們的模態斷言所蘊含的本體論承諾。
儘管亞里士多德的邏輯幾乎全部都關註直言三段論的理論，他的著作還包含在模態邏輯要點上的一些延伸討論（比如他著名的在解釋篇§ 9中海戰悖論），並且它們與潛在性和時間有關連。遵從他的著作，經院學者為模態邏輯的嚴格理論開發出了根基，大多在關於本質性和偶然性的陳述的邏輯的註釋的上下文中。在中世紀的作家中，在William of Ockham和John Duns Scotus的著作中找到了關於模態邏輯的一些最重要的工作。
形式模態邏輯的締造者是C. I. Lewis，他在專著《A Survey of Symbolic Logic》（1918）中介入了一個系統（後來叫做S3），並（同C. H. Langford一起）在書《Symbolic Logic》（1932）中介入了系統S1-S5。J. C. C. McKinsey在1941年使用代數方法（帶有運算元的布爾代數）來證明Lewis的S2和S4的可判定性。Saul Kripke從1959年開始為模態邏輯設計了關係語義或可能世界語義。Vaughan Pratt在1976年介入了動態邏輯。Amir Pnueli在1977年提出使用時態邏輯來公式化頻繁操作併發程式的行為。
時間邏輯，在1957年由A. N. Prior發明，與模態邏輯有密切的關聯，因為增加了模態運算元[F]和[P]，分別意味著今後和至今，導致了時間邏輯的一個系統。時間邏輯的風味包括：命題動態邏輯（PDL），命題線性時間邏輯（PLTL），線性時間邏輯（LTL），計算樹邏輯（CTL），Hennessy-Milner邏輯和T。
模態邏輯的數學結構，也就是擴充一元運算的布爾代數（經常叫做“模態代數”），開始出現於J. C. C. McKinsey在1941年對S2和S4是可判定性的證明，並於阿爾弗雷德·塔斯基和他的學生Bjarni Jonsson的工作（Jonsson與Tarski 1951-52）中得到完全能力。這項工作顯示了S4和S5是內部代數的模型，它是最初設計用來捕獲拓撲學的內部運算元和閉包運算元的性質的布爾代數的真擴展。
