泊松分佈

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泊松分佈(Poisson Distribution)

　　Poisson分佈(法語：loi de Poisson，英語：Poisson distribution，譯名有泊松分佈、普阿松分佈、卜瓦松分佈、布瓦松分佈、布阿松分佈、波以松分佈、卜氏分配等)，是一種統計與概率學里常見到的離散機率分佈(discrete probability distribution)，由法國數學家西莫恩·德尼·泊松(Siméon-Denis Poisson)在1838年時發表。

　　泊松分佈（Poisson distribution），台譯卜瓦松分佈（法語：loi de Poisson，英語：Poisson distribution，譯名有泊松分佈、普阿松分佈、卜瓦松分佈、布瓦松分佈、布阿松分佈、波以松分佈、卜氏分配等），是一種統計與概率學里常見到的離散機率分佈（discrete probability distribution）。泊松分佈是以18～19 世紀的法國數學家西莫恩·德尼·泊松（Siméon-Denis Poisson）命名的，他在1838年時發表。這個分佈在更早些時候由貝努里家族的一個人描述過。

　　泊松分佈的概率質量函數為：

　　泊松分佈的參數λ是單位時間(或單位面積)內隨機事件的平均發生率。

　　泊松分佈適合於描述單位時間內隨機事件發生的次數。如某一服務設施在一定時間內到達的人數，電話交換機接到呼叫的次數，汽車站臺的候客人數，機器出現的故障數，自然災害發生的次數等等。

　　若隨機變數X取0和一切正整數值，在n次獨立試驗中出現的次數x恰為k次的概率P（X=k）=（k=0,1,...,n），式中λ是一個大於0的參數，此概率分佈稱為泊松分佈。它的期望值為E(x)=λ，方差為D(x) = λ。當n很大，且在一次試驗中出現的概率P很小時，泊松分佈近似二項分佈。

　　Poisson分佈主要用於描述在單位時間(空間)中稀有事件的發生數. 即需滿足以下四個條件：^[1]

　　1、給定區域內的特定事件產生的次數，可以是根據時間，長度，面積來定義；

　　2、各段相等區域內的特定事件產生的概率是一樣的；

　　3、各區域內，事件發生的概率是相互獨立的；

　　4、當給定區域變得非常小時，兩次以上事件發生的概率趨向於0。

　　例如：

　　1、放射性物質在單位時間內的放射次數；

　　2、在單位容積充分搖勻的水中的細菌數；

　　3、野外單位空間中的某種昆蟲數等。

　　由泊松分佈知E[N(t) − N(t₀)] = D[N(t) − N(t₀)] = λ(t − t₀)

　　特別的，令t_0=0.由於假設N(0)=0,故可推知泊松過程的均值函數和方差函數分別為E[N(t)] = λt,D[N(t)] = λt,

　　泊松過程的強度\lambda （常數）等於單位長時間間隔內出現的質點數目的期望值。即對泊松分佈有：E(X) = D(X) = λ

　　1、泊松分佈是一種描述和分析稀有事件的概率分佈。要觀察到這類事件，樣本含量n必須很大。

　　2、λ是泊松分佈所依賴的唯一參數。λ值愈小，分佈愈偏倚，隨著λ的增大，分佈趨於對稱。

　　3、當λ = 20時，分佈泊松接近於正態分佈；當λ = 50時，可以認為泊松分佈呈正態分佈。在實際工作中，當時就可以用正態分佈來近似地處理泊松分佈的問題。