幾何級數增長

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幾何級數增長(geometric growth)

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什麼是幾何級數增長

  幾何級數增長就是成倍數增長。類似與通常說的“翻番”——2、4、8、16、32、64、128等等,或者3、9、27、81等等。在幾何上,面積與邊長的關係是乘積的函數關係。因此也將成倍增長稱為“幾何級數增長”。

幾何級數增長的案例分析

案例一:種群的幾何級數增長[1]

  在具體討論現實的種群在有限的環境中增長過程以前,首先介紹一個理想的種群在無限的環境中增長的模型。假定有一種一年只有一個繁殖季、壽命只有一年的動物,那麼其世代是不重疊的。例如,棲居於草原季節性小水坑中的水生昆蟲,每年雌蟲產一次卵,卵孵化長成幼蟲,蛹在泥中度過乾旱季節。到第二年,蛹才變為成蟲,交配、產卵。因此,世代是不重疊的,種群增長是不連續的。假定這些水坑是彼此隔離的,即種群沒有遷入和遷出。

  1.模型的假設和概念結構

  在這個最簡單的單種種群增長模型的概念結構里,包含有下列四個假設:①種群增長是無界的,即設種群在無限的環境中增長,沒有受資源、空間等條件的限制;②世代不相重疊。增長是不連續的,或稱離散的;③種群沒有遷入和遷出;④沒有年齡結構。

  2.數學模型

  最簡單的單種種群增長的數學模型通常是把世代t+1的種群Nt + 1與世代t的種群Nt聯繫起來的差分方程:
Nt + 1 = λNt  或Nt = N0λ'

  式中:N為種群大小,t為時間,λ為種群的周限增長率。

  3.模型的生物學含義

  下麵我們對這個模型的生物學含義作進一步解釋。

  假定一年生生物(即世代間隔為一年)的種群在一個繁殖季節t0開始,有N0個雌體和等量的雄體(這樣就能簡單地以雌體產生雌體來代表種群增長),其產卵量為B,總死亡為D。那麼到下一年t1,其種群數量N1
N1 = N0 + BD
  例如,開始時有10個雌體,到第二年成為200個,那就是說,N0 = 10N1 = 200,即一年增長20倍。現以λ代表種群兩個世代的比率:
λ = N1 / N0 = 20

  如果種群在無限環境下以這個速率年復一年地增長,即

  N0 = 10

  N_1=N_0\lambda=10\times 20=200(=10\times 20^1)

  N_2=N_1\lambda=200\times 20=4000(=10\times 20^2)

  N_3=N_2\lambda=4000\times 20=80000(=10\times 20^3)

  ……

  Nt + 1 = NtλNt = N0λ'

  λ在此是表示種群以每年(或其他時間單位)為前1年20倍的速率而增長的增長率,稱為周限增長率。這種增長形式稱為幾何級數式增長或指數式增長。

  將方程式Nt = N0λ'兩側取對數,即
lgNt = lgN0 + (lgλ)t

  它具有直線方程式y=a+bx的形式。因此,以lgNt與t作圖,就能得到一條直線,其中lgN0是直線的截距,lgλ是直線的斜率。

  4.模型的參數λ

  周限增長率λ是種群增長模型中有用的量,如果λ = Nt + 1 / Nt = 1,表示種群數量在t時和t+1時相等,種群穩定。從理論上講,λ可以有下麵四種情況,它在種群增長中的含義是:

  λ>1,種群上升;

  λ=1,種群穩定;

  0<λ<1,種群下降;

  λ=0,雌體沒有繁殖,種群在一代中滅亡。

參考文獻

  1. 林文雄主編.生態學.科學出版社,2007.8.
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