几何级数增长

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几何级数增长(geometric growth)

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什么是几何级数增长

  几何级数增长就是成倍数增长。类似与通常说的“翻番”——2、4、8、16、32、64、128等等,或者3、9、27、81等等。在几何上,面积与边长的关系是乘积的函数关系。因此也将成倍增长称为“几何级数增长”。

几何级数增长的案例分析

案例一:种群的几何级数增长[1]

  在具体讨论现实的种群在有限的环境中增长过程以前,首先介绍一个理想的种群在无限的环境中增长的模型。假定有一种一年只有一个繁殖季、寿命只有一年的动物,那么其世代是不重叠的。例如,栖居于草原季节性小水坑中的水生昆虫,每年雌虫产一次卵,卵孵化长成幼虫,蛹在泥中度过干旱季节。到第二年,蛹才变为成虫,交配、产卵。因此,世代是不重叠的,种群增长是不连续的。假定这些水坑是彼此隔离的,即种群没有迁入和迁出。

  1.模型的假设和概念结构

  在这个最简单的单种种群增长模型的概念结构里,包含有下列四个假设:①种群增长是无界的,即设种群在无限的环境中增长,没有受资源、空间等条件的限制;②世代不相重叠。增长是不连续的,或称离散的;③种群没有迁入和迁出;④没有年龄结构。

  2.数学模型

  最简单的单种种群增长的数学模型通常是把世代t+1的种群Nt + 1与世代t的种群Nt联系起来的差分方程:
Nt + 1 = λNt  或Nt = N0λ'

  式中:N为种群大小,t为时间,λ为种群的周限增长率。

  3.模型的生物学含义

  下面我们对这个模型的生物学含义作进一步解释。

  假定一年生生物(即世代间隔为一年)的种群在一个繁殖季节t0开始,有N0个雌体和等量的雄体(这样就能简单地以雌体产生雌体来代表种群增长),其产卵量为B,总死亡为D。那么到下一年t1,其种群数量N1
N1 = N0 + BD
  例如,开始时有10个雌体,到第二年成为200个,那就是说,N0 = 10N1 = 200,即一年增长20倍。现以λ代表种群两个世代的比率:
λ = N1 / N0 = 20

  如果种群在无限环境下以这个速率年复一年地增长,即

  N0 = 10

  N_1=N_0\lambda=10\times 20=200(=10\times 20^1)

  N_2=N_1\lambda=200\times 20=4000(=10\times 20^2)

  N_3=N_2\lambda=4000\times 20=80000(=10\times 20^3)

  ……

  Nt + 1 = NtλNt = N0λ'

  λ在此是表示种群以每年(或其他时间单位)为前1年20倍的速率而增长的增长率,称为周限增长率。这种增长形式称为几何级数式增长或指数式增长。

  将方程式Nt = N0λ'两侧取对数,即
lgNt = lgN0 + (lgλ)t

  它具有直线方程式y=a+bx的形式。因此,以lgNt与t作图,就能得到一条直线,其中lgN0是直线的截距,lgλ是直线的斜率。

  4.模型的参数λ

  周限增长率λ是种群增长模型中有用的量,如果λ = Nt + 1 / Nt = 1,表示种群数量在t时和t+1时相等,种群稳定。从理论上讲,λ可以有下面四种情况,它在种群增长中的含义是:

  λ>1,种群上升;

  λ=1,种群稳定;

  0<λ<1,种群下降;

  λ=0,雌体没有繁殖,种群在一代中灭亡。

参考文献

  1. 林文雄主编.生态学.科学出版社,2007.8.
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