方差分析

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方差分析(Analysis of Variance，简称ANOVA)

　　方差分析（ANOVA）又称“变异数分析”，是R.A.Fister发明的，用于两个及两个以上样本均数差别的显著性检验。

　　由于各种因素的影响，研究所得的数据呈现波动状。造成波动的原因可分成两类，一是不可控的随机因素，另一是研究中施加的对结果形成影响的可控因素。

　　一个复杂的事物，其中往往有许多因素互相制约又互相依存。方差分析的目的是通过数据分析找出对该事物有显著影响的因素，各因素之间的交互作用，以及显著影响因素的最佳水平等。方差分析是在可比较的数组中，把数据间的总的“变差”按各指定的变差来源进行分解的一种技术。对变差的度量，采用离差平方和。方差分析方法就是从总离差平方和分解出可追溯到指定来源的部分离差平方和，这是一个很重要的思想。

　　经过方差分析若拒绝了检验假设，只能说明多个样本总体均数不相等或不全相等。若要得到各组均数间更详细的信息，应在方差分析的基础上进行多个样本均数的两两比较。

　　1、多个样本均数间两两比较

多个样本均数间两两比较常用q检验的方法，即Newman-kueuls法，其基本步骤为：建立检验假设-->样本均数排序-->计算q值-->查q界值表判断结果。

　　2、多个实验组与一个对照组均数间两两比较

　　多个实验组与一个对照组均数间两两比较，若目的是减小第II类错误，最好选用最小显著差法（LSD法）；若目的是减小第I类错误，最好选用新复极差法，前者查t界值表，后者查q'界值表。

　　基本思想：通过分析研究中不同来源的变异对总变异的贡献大小，从而确定可控因素对研究结果影响力的大小。

　　下面我们用一个简单的例子来说明方差分析的基本思想：

　　如某克山病区测得11例克山病患者和13名健康人的血磷值（mmol/L）如下：

• 患者：0.84 1.05 1.20 1.20 1.39 1.53 1.67 1.80 1.87 2.07 2.11
• 健康人：0.54 0.64 0.64 0.75 0.76 0.81 1.16 1.20 1.34 1.35 1.48 1.56 1.87

　　问该地克山病患者与健康人的血磷值是否不同？

　　从以上资料可以看出，24个患者与健康人的血磷值各不相同，如果用离均差平方和（SS）描述其围绕总均数的变异情况，则总变异有以下两个来源：

• 组内变异，即由于随机误差的原因使得各组内部的血磷值各不相等；
• 组间变异，即由于克山病的影响使得患者与健康人组的血磷值均数大小不等。

　　而且：SS总=SS组间+SS组内 v总=v组间+v组内

　　如果用均方（即自由度v去除离均差平方和的商）代替离均差平方和以消除各组样本数不同的影响，则方差分析就是用组内均方去除组间均方的商（即F值）与1相比较，若F值接近1，则说明各组均数间的差异没有统计学意义，若F值远大于1，则说明各组均数间的差异有统计学意义。实际应用中检验假设成立条件下F值大于特定值的概率可通过查阅F界值表（方差分析用）获得。

　　应用方差分析对资料进行统计推断之前应注意其使用条件，包括：

　　1、可比性。若资料中各组均数本身不具可比性则不适用方差分析。

　　2、正态性。即偏态分布资料不适用方差分析。对偏态分布的资料应考虑用对数变换、平方根变换、倒数变换、平方根反正弦变换等变量变换方法变为正态或接近正态后再进行方差分析。

　　3、方差齐性。即若组间方差不齐则不适用方差分析。多个方差的齐性检验可用Bartlett法，它用卡方值作为检验统计量，结果判断需查阅卡方界值表。

　　方差分析主要用于：

　　1、均数差别的显著性检验；

　　2、分离各有关因素并估计其对总变异的作用；

　　3、分析因素间的交互作用；

　　4、方差齐性检验。

　　根据资料设计类型的不同，有以下两种方差分析的方法：

　　1、对成组设计的多个样本均数比较，应采用完全随机设计的方差分析，即单因素方差分析。

　　2、对随机区组设计的多个样本均数比较，应采用配伍组设计的方差分析，即两因素方差分析。

　　两类方差分析的基本步骤相同，只是变异的分解方式不同，对成组设计的资料，总变异分解为组内变异和组间变异（随机误差），即：SS总=SS组间+SS组内，而对配伍组设计的资料，总变异除了分解为处理组变异和随机误差外还包括配伍组变异，即：SS总=SS处理+SS配伍+SS误差。整个方差分析的基本步骤如下：

　　1、建立检验假设；

• H0：多个样本总体均数相等；
• H1：多个样本总体均数不相等或不全等。

　　检验水准为0.05。

　　2、计算检验统计量F值；

　　3、确定P值并作出推断结果。

　　1. 方差分析的假定条件为：

　　（1）各处理条件下的样本是随机的。

　　（2）各处理条件下的样本是相互独立的，否则可能出现无法解析的输出结果。

　　（3）各处理条件下的样本分布必须为正态分布，否则使用非参数分析。

　　（4）各处理条件下的样本方差相同，即具有齐效性。

　　2. 方差分析的假设检验

　　假设有K个样本，如果原假设H0样本均数都相同，K个样本有共同的方差σ ，则K个样本来自具有共同方差σ和相同均值的总体。

　　如果经过计算，组间均方远远大于组内均方，则推翻原假设，说明样本来自不同的正态总体，说明处理造成均值的差异有统计意义。否则承认原假设，样本来自相同总体，处理间无差异。

　　应用条件：

　　（1）各样本是相互独立的随机样本

　　（2）各样本分布均为正态分布

　　（3）各样本的总体方差相等，即具有方差齐性

　　（4）在不满足正态性时可以用非参数检验