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柯布—道格拉斯生产函数

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柯布-道格拉斯生产函数(Cobb-Douglas production function)

目录

柯布-道格拉斯生产函数概述

  柯布—道格拉斯生产函数最初是美国数学家柯布(C.W.Cobb)和经济学家保罗·道格拉斯(Paul H. Douglas)共同探讨投入和产出的关系时创造的生产函数,是以美国数学家C.W.柯布和经济学家保罗.H.道格拉斯的名字命名的。是在生产函数的一般形式上作出的改进,引入了技术资源这一因素。用来预测国家和地区的工业系统或大企业的生产和分析发展生产的途径的一种经济数学模型,简称生产函数。是经济学中使用最广泛的一种生产函数形式,它在数理经济学经济计量学的研究与应用中都具有重要的地位。它是以美国数学家C·W·柯布和经济学家保罗·H·道格拉斯的名字命名的。柯布—道格拉斯生产函数的一般形式可以表示为:

  他们根据有关历史资料,研究了从1899-1922年美国的资本和劳动对生产的影响,在技术经济条件不变的情况下,得出了产出与投入的劳动力及资本的关系。但是柯布-道格拉斯生产函数中把技术水平A作为固定常数,难以反映出因技术进步而给产出带来的影响。

  柯布—道格拉斯生产函数中,如果有任何一种投入品为零,则产出也为零,因此对于生产来说,每种生产要素都是必需的,没有一种要素可以完全替代另一种要素。

  柯布—道格拉斯生产函数是采用的边际分析方法,可用于分析要素投入对产量(产出)的贡献率、规模收益和其他系列问题。是生产函数中应用广泛的一种!

  根据研究目的和需要,现在有很多在柯布——道格拉斯生产函数基础上变形应用的函数形式。

柯布-道格拉斯生产函数的基本形式

  柯布-道格拉斯生产函数的基本形式为:

  Y = A(t)LαKβμ

  式中Y是工业总产值,At是综合技术水平,L是投入的劳动力数(单位是万人或人),K是投入的资本,一般指固定资产净值(单位是亿元或万元,但必须与劳动力数的单位相对应,如劳动力用万人作单位,固定资产净值就用亿元作单位),α 是劳动力产出的弹性系数,β是资本产出的弹性系数,μ表示随机干扰的影响,μ≤1。从这个模型看出,决定工业系统发展水平的主要因素是投入的劳动力数、固定资产和综合技术水平(包括经营管理水平、劳动力素质、引进先进技术等)。根据α 和β的组合情况,它有三种类型:

  ①α+β>1, 称为递增报酬型,表明按现有技术用扩大生产规模来增加产出是有利的。

  ②α+β<1, 称为递减报酬型,表明按现有技术用扩大生产规模来增加产出是得不偿失的。

  ③α+β=1, 称为不变报酬型,表明生产效率并不会随着生产规模的扩大而提高,只有提高技术水平,才会提高经济效益

  美国经济学家R.M.斯诺提出的中性技术模式即斯诺模型属于不变报酬型。当μ=1时,斯诺模型为:

  Y = A(t)L1 − εKεA(t)=\left(\frac{Y}{L}\right)^{1-\epsilon}\left(\frac{K}{Y}\right)^{-\epsilon}

  式中(1-ε)是劳动力产出的弹性系数。根据弹性系数的经济意义和数学意义,\epsilon=\frac{\partial ln Y}{\partial ln K}=\frac{qK}{pY}。这里p是产出价格,q是资本价格。当p=q时,\epsilon=\frac{K}{Y}A(t)=\left(\frac{Y}{L}\right)^{1-\frac{K}{Y}}\left(\frac{K}{Y}\right)^{-\frac{K}{Y}}。它表示对生产技术水平、经营管理水平和服务水平的综合评价,全面反映企业的适应能力、竞争能力生存能力。A(t)值越大,水平越高。

  根据柯布-道格拉斯生产函数可以得到下列经济参数(设μ=1):

  ①劳动力边际生产力MP_L=\frac{\partial Y}{\partial L}=\alpha\frac{Y}{L}表示在资产不变时增加单位劳动力所增加的产值。

  ②资产边际生产力MP_k=\frac{\partial Y}{\partial K}=\beta\frac{Y}{K}表示在劳动力不变时增加单位资产所增加的产值。

  ③劳力对资产的边际代换率MP_s=\frac{\partial K}{\partial L}=\frac{\alpha}{\beta}\left(\frac{A}{Y}\right)^{\frac{1}{\beta}}L^{-(1+\frac{\alpha}{\beta})}表示产值不变时增加单位劳动力所能减少的资产值。

  ④劳动力产出弹性系数\alpha=\frac{\partial Y}{Y}/\frac{\partial L}{L},表示劳动力投入的变化引起产值的变化的速率。

  ⑤资产产出弹性系数\beta=\frac{\partial Y}{Y}/\frac{\partial K}{K},表示资产投入的变化引起产值变化的速率。国际上一般取α=0.2~0.4,β=0.8~0.6。中国根据国家计委测算一般可取α=0.2~0.3,β=0.8~0.7。

柯布一道格拉斯生产函数的应用[1]

  柯布一道格拉斯生产函数主要用于测定生产过程中资本投人量和劳动投入量对产出量的影响;亦可测定科技进步、资本增长、劳动增长对产出增长的贡献率。柯布一道格拉斯生产函数为

  Y=ak^{\beta_1}L^{\beta_2}

  其中:Y代表产出增长率,a代表科技进步率,K代表资本增长率,β1代表资本产出弹性系数,L代表劳动增长率,β2代表劳动产出弹性系数。

  用柯布一道格拉斯生产函数测定科技进步、资本增长、劳动增长对产出增长的贡献率,必须先估计参数β1β2,有下列两种方法可供选择。

  1.正规化法

  正规化法是在假定规模报酬不变(β1+β2=1)的条件下,利用产出量、资本量和劳动量三者平均增长率(\overline{y}\overline{K}\overline{L})的比例关系,估计参数a、β1β2,进而测定科技进步、资本增长、劳动增长对产出增长的贡献率。计算公式为

  \beta_1=\frac{\frac{\overline{y}}{\overline{K}}}{\frac{y}{K}+\frac{y}{L}}

  β2 = 1 − β1

  a=\overline{y}-\beta_1\overline{K}-\beta_2\overline{L}

  科技进步、资本增长、劳动增长对产出增长的贡献率的关系式为

  \frac{a}{y}+\frac{\beta_1\overline{K}}{y}+\frac{\beta_2\overline{L}}{y}=1

  【例1】某企业近10年增加值与资本和劳动投入如图1所示。根据正规化法估计的科技进步率a=1.9449,资本产出弹性系数β1=0.5941,劳动产出弹性系数β2=0.4059,测定的科技进步、资本增长、劳动增长对产出增长的贡献率分别为24.49%、51.48%和24.03%。为了便于比较,亦可测定不同时期的科技进步、资本增长、劳动增长对产出增长的贡献率。

  Image:某企业近10年增加值与资本和劳动投入.jpg

  2.回归估计法

  回归估计法亦是在假定规模报酬不变(β1+β2=1)的条件下,利用最小二乘法估计参数a、β1β2,进而测定科技进步、资本增长、劳动增长对产出增长的贡献率。柯布一道格拉斯生产函数Y=ak^{\beta_1}L^{\beta_2}两边取对数得:

  lgy=lga+β1lgK+β2lgL

  =lga+β1lgK+(1-β1)lgL

  lgy-lgL=Iga+β1(lgK-lgL)

  lg\frac{y}{K}=lga+β1lg\frac{K}{L}

  这是一个一元线性回归模型,可用最小二乘法估计lga和β1,用1-β1求得β2,进而可测定科技进步、资本增长、劳动增长对产出增长的贡献率。

  \frac{a}{y}+\frac{\beta_1\overline{K}}{y}+\frac{\beta_2\overline{L}}{y}=1

  根据表1中所列的数据,用最小二乘法估计的回归模型为

  lg\frac{y}{L}=0.097+0.847   lg\frac{K}{L}

  (2.383)  (6.562)

  R=0.918   F=43.056   SE=0.0990

  模型各项检验具有显著性。据此可求得科技进步率a=1.2503,资本产出弹性系数β1=0.847,劳动产出弹性系数β2=0.153,测定的科技进步、资本增长、劳动增长对产出增长的贡献率分别为15.75%、73.39%和9.06%。由于贡献率之和不等于100%,调整后分别为16.04%、74.74%和9.22%。

参考文献

  1. 龚曙明编著.应用统计学(第二版修订本).北京交通大学出版社,2007.6.
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评论(共25条)

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114.216.60.* 在 2010年1月17日 10:09 发表

还是不明白

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210.73.77.* 在 2010年6月1日 14:16 发表

还真不明白

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61.227.135.* 在 2010年6月20日 20:17 发表

所以到底是怎樣阿@@

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202.106.78.* 在 2010年8月26日 10:35 发表

笨了吧

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222.184.16.* 在 2010年9月21日 13:39 发表

两个指数说反了。应该是劳动份额占据2/3,资本份额1/3。现代社会是民主社会,以人为本。为了限制两极分化,达成社会稳定,这也是必须的。

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Qoo (Talk | 贡献) 在 2010年9月27日 16:35 发表

222.184.16.* 在 2010年9月21日 13:39 发表

两个指数说反了。应该是劳动份额占据2/3,资本份额1/3。现代社会是民主社会,以人为本。为了限制两极分化,达成社会稳定,这也是必须的。

楼上的能说清楚一些么?看不懂啊~

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222.184.16.* 在 2010年9月29日 15:37 发表

在美国,劳动收入占据全部收入的2/3,资本收入占据1/3,这个比率长期稳定。这个比率是由于工会争取高工资的努力与社会储蓄偏好对收益率要求之间达到的均衡所决定的。所谓cobb-douglas生产函数不过是这个特征的数学体现。

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222.184.16.* 在 2010年9月29日 15:39 发表

在教科书中,α一般用于表达资本的收入份额,大约是1/3。

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221.4.220.* 在 2011年2月27日 13:17 发表

说白就是对N和K分别求导。

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121.33.143.* 在 2011年3月1日 15:16 发表

表示还不错

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112.226.86.* 在 2013年3月7日 21:22 发表

劳动力弹性产出系数中国0.2到0.3,国外0.2到0.4,我可以看成中国剥削严重么??

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194.242.230.* 在 2013年4月29日 18:24 发表

不懂。。

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220.181.146.* 在 2013年5月9日 10:48 发表

附个案例就好了

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jane409 (Talk | 贡献) 在 2013年5月9日 15:22 发表

220.181.146.* 在 2013年5月9日 10:48 发表

附个案例就好了

已添加了柯布—道格拉斯生产函数的应用部分,望对您有帮助~

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118.186.138.* 在 2013年12月20日 18:45 发表

请问在柯布道格拉斯生产函数中 产出的增长率一定等于各投入的增长率之和么?

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58.215.136.* 在 2014年12月25日 22:45 发表

Qoo (Talk | 贡献) 在 2010年9月27日 16:35 发表

楼上的能说清楚一些么?看不懂啊~

这是他们得出的结论

回复评论
59.172.45.* 在 2015年1月20日 01:41 发表

亦可测定不同时期的科技进步、资本增长、劳动增长对产出增长的贡献率。这个是如何测定出来的呢?能具体说一下吗?

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116.112.12.* 在 2016年4月12日 17:51 发表

Y = F(N,K) = AN1-θKθ, where Y represents the level of output. (1 - θ) and θ are weights equal to the shares of labor (N) and capital (K) in production, while A is often used as a measure for the level of technology. It can be easily shown that labor and capital each contribute to economic growth by an amount that is equal to their individual growth rates multiplied by their respective share in income.

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223.86.53.* 在 2017年11月22日 19:38 发表

有一个问题请教,选取数据后发现回归后的值不行,劳动弹性大于1怎么办

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117.87.29.* 在 2018年5月13日 12:46 发表

正规化方法的公式中,y表示什么含义?

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101.226.225.* 在 2018年6月12日 19:08 发表

劳动力的产出系数是什么意思?

回复评论
101.226.225.* 在 2018年6月12日 19:22 发表

劳动力的产出弹性系数是什么意思?

回复评论
062.* (Talk | 贡献) 在 2018年6月12日 19:29 发表

劳动力的产出弹性系数是什么意思?可以举例说明一下吗

回复评论
27.147.32.* 在 2018年12月15日 13:21 发表

左上角的廣告能移除嗎 都看不到字了

回复评论
122.96.34.* 在 2021年11月19日 18:10 发表

正规化法中的y,K,L应该代什么数据呀,这个没解释

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