CES生产函数

用手机看条目

出自 MBA智库百科(https://wiki.mbalib.com/)

CES生产函数(Constant Elasticity of Substitution)

目录

什么是CES生产函数[1]

  CES生产函数是指替代弹性为常数的,CES生产函数首先由Solow提出的,经过实证检定,逐渐被应用。

CES生产函数的公式[2]

  CES生产函数为常替代弹性生产函数

  Y = A1k − ρ + δ2L − ρ)1 / ρ    (1)

  的简称, 这是因为式(1)所表示的生产函数的替代弹性

  σ = 1 / (1 + ρ)为常数。

  在经济理论中,生产函数Y=F(K,L)应满足:对任意的K、L有,Y(0,L)=Y(K,0)=0。

  有些生产函数例如C-D函数

  Y = AKαLβ,则由其函数表达式自然满足Y(0,L)=Y(K,0)=0,即为默认。

  在研究CES生产函数时, 必须同时准确地给出其使用条件:

  Y=A(\delta_1 k^{\frac{\alpha-1}{\alpha}}+\delta_2 L^{\frac{\alpha-1}{\alpha}})^{\frac{\alpha}{\alpha-1}}

  其中K>O 且L>0。

CES生产函数的性质[2]

  由以上讨论,我们首先给出CES生产函数(l)的定义域为R^+\times R^+

  对于固定的L>0,由(1)式可得人均产出函数

  y=\frac{Y}{L}=A(\delta_1(\frac{K}{L})^{-1/\rho})=A\delta_2^{-1/\rho}(\frac{\delta_1}{\delta_2}k^{-\rho}+1)^{-1/\rho}

  记为y=f(k)    (2)

  这里k=K/L表示人均资本(或称劳动装备)。

  对(2)求导,得

  f(k)=A\delta_2^{-1/\rho}(\frac{\delta_1}{\delta_2}k^{-\rho}+1)^{-1\rho-1 }\frac{\delta_1}{\delta_2}k^{-\rho-1}    (3)

  显然,当k>0且L>O时,有

  性质1,人均CES生产函数(2)在其定义域R^+\times R^+内,恒有

  f(k)>0

  再对(3)式求导,得

  f'(k)=-A\delta_2^{-1/\rho}(1+\rho)(\frac{\delta_1}{\delta_2}k^{-\rho}+1)^{-1/\rho-2}\frac{\delta_1}{\delta_2}k^{-\rho-2}    (4)

  由此又有

  性质2,人均CES生产函数(2)在其定义域R^+\times R^+内,恒有

  f(k)<0

  由性质1、性质2知,人均CES生产函数(2)为凹函数。

  性质1的经济意义为:边际产出大于零,即资本k每增加一个单位,则产出y增加

  A\delta_2^{-1/\rho}(\frac{\delta_1}{\delta_2}k^{-\rho}+1)^{-1/\rho-1}\frac{\delta_1}{\delta_2}k^{-\rho-1}个单位

  性质2说明人均CES生产函数从经济上来说是规模递减的,即随资本k的增加,边际产出递增的速度下降。

CES生产函数的运用[2]

  假设考虑三种生产要素的CES函数,即固定资本品K1、中间消耗品K2劳动力L,并假设劳动力L在考察期内不变,即具有以下的生产函数形式:

  Y_1=A[\delta_1K_1^{\rho}+\delta_2K_2{\rho}+\delta_3L^\rho]^\frac{1}{\rho},0<\delta_i<1,i=1,2,A>0,\rho<1    (5)

  在封闭的经济中第t+1年固定资本品投人来源于第t年的剩余和第t年产出的再投入部分,比例σ1,第t+1年中间消耗来源于第t年产出的投人,比例为σ2,第t年消费均来自当年的产出扣除下一年的再投人部分。

  假设折旧率μ,整个社会的消费记为C(t),人均消费记为c(t),如上两边同除L,人均化后即有:

  y_1=A[\delta_1K_1^{\rho}+\delta_2k_2^{\rho}+\delta_3]^{\frac{1}{\rho}},0<\delta_i,i=1,2,A>0,\rho<1    (6)

  且有如下关系:

  k1(t + 1) = k1(t) − μk1(t) + σ1y(t)

  k2(t + 1) = σ2y(t)            (7)

  c(t) = (1 − σ1 − σ2)y(t)

  取考察期内的人均消费的效用达到最大化,我们建立的模型如下:

  MAX\int_0^{\infty}U(c(t))dt

  y(t)=A[\delta_1k_1^{\rho}+\delta_2k_2^{\rho}+\delta_3]^{\frac{1}{\rho}}

  k1(t + 1) = k1(t) − μk1(t) + σ1y(t)          (8)

  c(t) = (1 − σ1 − σ2)y(t),0 < δi < 1,i = 1,2;0 < μ < 1

  把状态方程(7)连续化得到:

  \frac{dk_1(t)}{dt}=-\mu k_1(t)+\sigma_1 y(t)    (9)

  \frac{dk_2(t)}{dt}=-k_2(t)+\sigma_2 y(t)      

  对系统(9),均衡时由\frac{dk_1(t)}{dt}=0,\frac{dk_2(t)}{dt}=0解得惟一的正均衡点E(k_1^{*},k_2^{*})满足:

  k_1^{*}=\frac{\sigma_1}{\mu}y ,k_2^{*}=\sigma_2y    (10)

  把它们带人生产函数的表达式中得到:

  y=A[\delta_1(\frac{\sigma_1}{\mu}y)^{\rho}+\delta_2(\sigma_2y)^{\rho}+\delta_3]^{\rho}

  可解得在均衡点处有:

  y^*=[\frac{1}{\delta_3}(\frac{1}{A})^{\rho}-\frac{\delta_1}{\delta_3}(\frac{\sigma_1}{\mu})^{\rho}-\frac{\delta_2}{\delta_3}\sigma_2^{\rho}]^{\frac{1}{\rho}}    (11)

  再把它带人式(10)中就有:

  k_1^{*}=\frac{\sigma_1}{\mu}[\frac{1}{\delta_3}(\frac{1}{A})^{\rho}-\frac{\delta_1}{\delta_3}(\frac{\sigma_1}{\mu})^{\rho}-\frac{\delta_2}{\delta_3}\sigma_2^{\rho}]^{\frac{1}{\rho}}

  k_2^{*}=\sigma_2[\frac{1}{\delta_3}(\frac{1}{A})^{\rho}-\frac{\delta_1}{\delta_3}(\frac{\sigma_1}{\mu})^{\rho}-\frac{\delta_2}{\delta_3}\sigma_2^{\rho}]^{\frac{1}{\rho}}

  我们可以得到在均衡点的导系数矩阵为

  \begin{bmatrix} -\mu+\sigma_1 \delta_1(\frac{\mu}{\sigma_1})^{1-\rho} & \sigma_1 \delta_2(\frac{1}{\sigma_2}^{1-\rho})A^{\rho} \\ \sigma_2 \delta_1(\frac{\mu}{\sigma_1})^{1-\rho}A^{\rho} & -1+\sigma_2 \delta_2(\frac{1}{\sigma_2})^{1-\rho}A^{\rho}\end{bmatrix}

  容易得到其特征方程为:

  \lambda^2-[\sigma_1\delta_1(\frac{\mu}{\sigma_1})^{1-\rho}A^{\rho}-\mu +\sigma_2\delta_2(\frac{1}{\sigma_2})^{1-\rho}A^{\rho}-1]\lambda

  +[\mu -\sigma_1\delta_1(\frac{\mu}{\sigma_1})^{1-\rho}A^{\rho}-\mu \sigma_2 \delta_2(\frac{1}{\sigma_2})^{1-\rho}A^{\rho}]

  根据根与系数的关系, 我们很容易得到:

  (1)若ρ2 >4q>0,且ρ>0,则λ1,λ2>0,即下列条件成立:

  μ − δ1μ1 − ρ(Aσ1)ρ − μδ2(Aσ2)ρ > 0

  δ1μ1 − ρ(Aσ1)ρ + δ2(Aσ2)ρ − (μ + 1) > 0

  上述两式相加可得到\delta_2(A\sigma_2)^{\rho}>\frac{1}{1-\mu}。此时系统均衡点是不稳定结。

  而当ρ < 0,则λ1,λ2<0,亦即下列条件成立:

  2μ + 1 > 2δ1μ1 − ρ(Aσ1)ρ + (1 + μ)δ2(Aσ2)ρ

  此时系统均衡点是稳定结点。

  (2)若ρ2<4q ,当Re(λ) > 0时,系统均衡点是不稳定结点。而当Re(λ) < 0时,系统均衡点是稳定结点。

  (3)若ρ < 0,则一个根为正,另一个根为负,即下列条件成立:

  1 < δ1μ − ρ(Aσ1)ρ + δ2(Aσ2)ρ

  此时均衡点为鞍点。有一枝分界线趋于均衡点E,这就是经济学中所说的:只有惟一的最佳路径稳定地趋于均衡点E。而另一枝分界线则离开均衡点E。其余的轨线均从“最佳路径”饶过均衡点而靠近另一枝分界线。亦即其相图犹如马鞍状。

  (4)若ρ = 0,即下列条件成立:μ = δ1μ1 − ρ(Aσ1)ρ − μδ2(Aσ2)ρ,则此时系统均衡点为高阶的,我们不做研究。

参考文献

  1. 蒋文蔚编著.微观经济数量分析.中国物价出版社,2001.09.
  2. 2.0 2.1 2.2 严忠,江海峰.CES生产函数及其运用[J].数量经济技术经济研究,2002,(第9期).
本条目对我有帮助47
MBA智库APP

扫一扫,下载MBA智库APP

分享到:
  如果您认为本条目还有待完善,需要补充新内容或修改错误内容,请编辑条目投诉举报

本条目由以下用户参与贡献

yanfei,林巧玲,Mis铭.

评论(共3条)

提示:评论内容为网友针对条目"CES生产函数"展开的讨论,与本站观点立场无关。
140.118.226.* 在 2014年11月16日 05:31 发表

最上面的elasticity拼錯啦呵呵

回复评论
Mis铭 (Talk | 贡献) 在 2014年11月17日 09:38 发表

140.118.226.* 在 2014年11月16日 05:31 发表

最上面的elasticity拼錯啦呵呵

谢谢指正,已经修改!MBA智库百科是可以自由修改编辑的,您也可以直接参与!

回复评论
140.112.177.* 在 2016年11月4日 16:48 发表

Y = A(δ1k − ρ + δ2L − ρ)1 / ρ    (1) 是不是要改成 Y = A(δ1k − ρ + δ2L − ρ)-1 / ρ才對?

回复评论

发表评论请文明上网,理性发言并遵守有关规定。

打开APP

以上内容根据网友推荐自动排序生成

闽公网安备 35020302032707号