CES生产函数

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CES生产函数(Constant Elasticity of Substitution)

什么是CES生产函数^[1]

　　CES生产函数是指替代弹性为常数的，CES生产函数首先由Solow提出的，经过实证检定，逐渐被应用。

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CES生产函数的公式^[2]

　　CES生产函数为常替代弹性生产函数

　　 $Y = A (δ 1 k - ρ + δ 2 L - ρ) 1 / ρ$ 　　　　(1)

　　的简称, 这是因为式(1)所表示的生产函数的替代弹性

　　 $σ = 1 / (1 + ρ)$ 为常数。

　　在经济理论中,生产函数Y=F(K,L)应满足:对任意的K、L有，Y(0,L)=Y(K,0)=0。

　　有些生产函数例如C－D函数

　　 $Y = A K α L β$ ,则由其函数表达式自然满足Y(0,L)=Y(K,0)=0,即为默认。

　　在研究CES生产函数时, 必须同时准确地给出其使用条件:

　　 $Y=A(\delta_1 k^{\frac{\alpha-1}{\alpha}}+\delta_2 L^{\frac{\alpha-1}{\alpha}})^{\frac{\alpha}{\alpha-1}}$

　　其中K>O 且L>0。

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CES生产函数的性质^[2]

　　由以上讨论,我们首先给出CES生产函数(l)的定义域为 $R^+\times R^+$

　　对于固定的L>0,由(1)式可得人均产出函数

　　 $y=\frac{Y}{L}=A(\delta_1(\frac{K}{L})^{-1/\rho})=A\delta_2^{-1/\rho}(\frac{\delta_1}{\delta_2}k^{-\rho}+1)^{-1/\rho}$

　　记为y=f(k)　　　　(2)

　　这里k=K/L表示人均资本(或称劳动装备)。

　　对(2)求导,得

　　 $f(k)=A\delta_2^{-1/\rho}(\frac{\delta_1}{\delta_2}k^{-\rho}+1)^{-1\rho-1 }\frac{\delta_1}{\delta_2}k^{-\rho-1}$ 　　　　(3)

　　显然,当k>0且L>O时,有

　　性质1，人均CES生产函数(2)在其定义域 $R^+\times R^+$ 内,恒有

　　f(k)>0

　　再对(3)式求导，得

　　 $f'(k)=-A\delta_2^{-1/\rho}(1+\rho)(\frac{\delta_1}{\delta_2}k^{-\rho}+1)^{-1/\rho-2}\frac{\delta_1}{\delta_2}k^{-\rho-2}$ 　　　　(4)

　　由此又有

　　性质2，人均CES生产函数(2)在其定义域 $R^+\times R^+$ 内,恒有

　　f(k)<0

　　由性质1、性质2知,人均CES生产函数(2)为凹函数。

　　性质1的经济意义为:边际产出大于零,即资本k每增加一个单位,则产出y增加

　　 $A\delta_2^{-1/\rho}(\frac{\delta_1}{\delta_2}k^{-\rho}+1)^{-1/\rho-1}\frac{\delta_1}{\delta_2}k^{-\rho-1}$ 个单位

　　性质2说明人均CES生产函数从经济上来说是规模递减的,即随资本k的增加,边际产出递增的速度下降。

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CES生产函数的运用^[2]

　　假设考虑三种生产要素的CES函数,即固定资本品 $K 1$ 、中间消耗品 $K 2$ 和劳动力L,并假设劳动力L在考察期内不变,即具有以下的生产函数形式:

　　 $Y_1=A[\delta_1K_1^{\rho}+\delta_2K_2{\rho}+\delta_3L^\rho]^\frac{1}{\rho},0<\delta_i<1,i=1,2,A>0,\rho<1$ 　　　　（5）

　　在封闭的经济中第t+1年固定资本品投人来源于第t年的剩余和第t年产出的再投入部分,比例为 $σ 1$ ,第t+1年中间消耗来源于第t年产出的投人,比例为 $σ 2$ ,第t年消费均来自当年的产出扣除下一年的再投人部分。

　　假设折旧率为 $μ$ ,整个社会的消费记为C(t),人均消费记为c(t),如上两边同除L,人均化后即有:

　　 $y_1=A[\delta_1K_1^{\rho}+\delta_2k_2^{\rho}+\delta_3]^{\frac{1}{\rho}},0<\delta_i,i=1,2,A>0,\rho<1$ 　　　　(6)

　　且有如下关系:

　　 $k 1 (t + 1) = k 1 (t) - μ k 1 (t) + σ 1 y (t)$

　　 $k 2 (t + 1) = σ 2 y (t)$ 　　　　　　　　　　　　(7)

　　 $c (t) = (1 - σ 1 - σ 2) y (t)$

　　取考察期内的人均消费的效用达到最大化,我们建立的模型如下:

　　 $MAX\int_0^{\infty}U(c(t))dt$

　　 $y(t)=A[\delta_1k_1^{\rho}+\delta_2k_2^{\rho}+\delta_3]^{\frac{1}{\rho}}$

　　 $k 1 (t + 1) = k 1 (t) - μ k 1 (t) + σ 1 y (t)$ 　　　　　　　　　　(8)

　　 $c (t) = (1 - σ 1 - σ 2) y (t),0 < δ i < 1, i = 1,2;0 < μ < 1$

　　把状态方程(7)连续化得到:

　　 $\frac{dk_1(t)}{dt}=-\mu k_1(t)+\sigma_1 y(t)$ 　　　　(9)

　　 $\frac{dk_2(t)}{dt}=-k_2(t)+\sigma_2 y(t)$ 　　　　　　

　　对系统(9),均衡时由 $\frac{dk_1(t)}{dt}=0$ , $\frac{dk_2(t)}{dt}=0$ 解得惟一的正均衡点 $E(k_1^{*},k_2^{*})$ 满足：

　　 $k_1^{*}=\frac{\sigma_1}{\mu}y$ , $k_2^{*}=\sigma_2y$ 　　　　(10)

　　把它们带人生产函数的表达式中得到：

　　 $y=A[\delta_1(\frac{\sigma_1}{\mu}y)^{\rho}+\delta_2(\sigma_2y)^{\rho}+\delta_3]^{\rho}$

　　可解得在均衡点处有：

　　 $y^*=[\frac{1}{\delta_3}(\frac{1}{A})^{\rho}-\frac{\delta_1}{\delta_3}(\frac{\sigma_1}{\mu})^{\rho}-\frac{\delta_2}{\delta_3}\sigma_2^{\rho}]^{\frac{1}{\rho}}$ 　　　　(11)

　　再把它带人式(10)中就有:

　　 $k_1^{*}=\frac{\sigma_1}{\mu}[\frac{1}{\delta_3}(\frac{1}{A})^{\rho}-\frac{\delta_1}{\delta_3}(\frac{\sigma_1}{\mu})^{\rho}-\frac{\delta_2}{\delta_3}\sigma_2^{\rho}]^{\frac{1}{\rho}}$

　　 $k_2^{*}=\sigma_2[\frac{1}{\delta_3}(\frac{1}{A})^{\rho}-\frac{\delta_1}{\delta_3}(\frac{\sigma_1}{\mu})^{\rho}-\frac{\delta_2}{\delta_3}\sigma_2^{\rho}]^{\frac{1}{\rho}}$

　　我们可以得到在均衡点的导系数矩阵为

　　 $\begin{bmatrix} -\mu+\sigma_1 \delta_1(\frac{\mu}{\sigma_1})^{1-\rho} & \sigma_1 \delta_2(\frac{1}{\sigma_2}^{1-\rho})A^{\rho} \\ \sigma_2 \delta_1(\frac{\mu}{\sigma_1})^{1-\rho}A^{\rho} & -1+\sigma_2 \delta_2(\frac{1}{\sigma_2})^{1-\rho}A^{\rho}\end{bmatrix}$

　　容易得到其特征方程为:

　　 $\lambda^2-[\sigma_1\delta_1(\frac{\mu}{\sigma_1})^{1-\rho}A^{\rho}-\mu +\sigma_2\delta_2(\frac{1}{\sigma_2})^{1-\rho}A^{\rho}-1]\lambda$

　　 $+[\mu -\sigma_1\delta_1(\frac{\mu}{\sigma_1})^{1-\rho}A^{\rho}-\mu \sigma_2 \delta_2(\frac{1}{\sigma_2})^{1-\rho}A^{\rho}]$

　　根据根与系数的关系, 我们很容易得到:

　　(1)若 $ρ 2$ > $4 q$ >0,且 $ρ$ >0,则 $λ 1$ , $λ 2$ >0,即下列条件成立：

　　 $μ - δ 1 μ 1 - ρ (A σ 1) ρ - μδ 2 (A σ 2) ρ > 0$

　　 $δ 1 μ 1 - ρ (A σ 1)ρ + δ 2 (A σ 2) ρ - (μ + 1) > 0$

　　上述两式相加可得到 $\delta_2(A\sigma_2)^{\rho}>\frac{1}{1-\mu}$ 。此时系统均衡点是不稳定结。

　　而当 $ρ < 0$ ,则 $λ 1$ , $λ 2$ <0,亦即下列条件成立:

　　 $2μ + 1 > 2δ 1 μ 1 - ρ (A σ 1) ρ + (1 + μ)δ 2 (A σ 2) ρ$

　　此时系统均衡点是稳定结点。

　　(2)若 $ρ 2$ < $4 q$ ,当 $R e (λ) > 0$ 时,系统均衡点是不稳定结点。而当 $R e (λ) < 0$ 时,系统均衡点是稳定结点。

　　(3)若 $ρ < 0$ ,则一个根为正,另一个根为负,即下列条件成立:

　　 $1 < δ 1 μ - ρ (A σ 1) ρ + δ 2 (A σ 2) ρ$

　　此时均衡点为鞍点。有一枝分界线趋于均衡点E,这就是经济学中所说的:只有惟一的最佳路径稳定地趋于均衡点E。而另一枝分界线则离开均衡点E。其余的轨线均从“最佳路径”饶过均衡点而靠近另一枝分界线。亦即其相图犹如马鞍状。

　　(4)若 $ρ = 0$ ,即下列条件成立: $μ = δ 1 μ 1 - ρ (A σ 1) ρ - μδ 2 (A σ 2) ρ$ ，则此时系统均衡点为高阶的,我们不做研究。

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参考文献

↑ 蒋文蔚编著.微观经济数量分析.中国物价出版社,2001.09.
↑ ^2.0 ^2.1 ^2.2 严忠,江海峰.CES生产函数及其运用[J].数量经济技术经济研究,2002,(第9期).

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评论(共3条)

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140.118.226.* 在 2014年11月16日 05:31 发表

最上面的elasticity拼錯啦呵呵

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Mis铭 (Talk | 贡献) 在 2014年11月17日 09:38 发表

140.118.226.* 在 2014年11月16日 05:31 发表

最上面的elasticity拼錯啦呵呵

谢谢指正，已经修改！MBA智库百科是可以自由修改编辑的，您也可以直接参与！

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140.112.177.* 在 2016年11月4日 16:48 发表

Y = A(δ1k − ρ + δ2L − ρ)1 / ρ　　　　(1) 是不是要改成 Y = A(δ1k − ρ + δ2L − ρ)-1 / ρ才對?

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