37%法则

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37%法则、37%规则

　　37%法则，出自《算法之美》^[1]一书。意思是经过数学家欧拉的实验，以37%作为分界点，前面的时间用来观察，后面的时间用来作决策的一种方法。

　　举例来说，比如要买房子，整个地区的房子有30处，那么需要先看37%的房子，也就是11个房子。37%前的房子只看不买，但是要记住自己认为最好的是什么样子。看完后，从37%以后只有遇到比之前最好的还要好的房子就应该下手买。

　　有这么一个故事：一天，苏格拉底带领几个弟子来到一块麦地边。他对弟子们说：“你们去麦地里摘一个最大的麦穗，只许前行不能回头，我在麦地的尽头等你们。”弟子们低头前行，挑挑拣拣，总觉得最大的麦穗还在前面。虽然，有弟子试着摘了几穗，但并不满意，便随手扔掉了。他们总以为机会还很多，完全没有必要过早定夺。过了很久，很多弟子还是两手空空。这时，传来苏格拉底的声音：“你们已经到尽头了。”是如弟子们一样二手空空，还是如苏格拉底所说，“麦地里肯定有一穗是最大的，但你们未必能碰到它；即便碰到，也未必能作出准确的判断。因此最大的一穗就是你们刚刚摘下的。”

　　相似的问题，有一片玉米地，你需要从里面摘选一个棒子最大的玉米。但只能摘一次，而且不能回头。你第一次走进玉米地，发现很多很好很大的玉米棒子，很快摘下了你看到的第一个比较大的玉米棒子，然后继续往前走，然而越走越失望，你沮丧地发现前面还有很多比你手里的大得多的玉米棒子。但是你已经不能够选择了。你第二次走进玉米地，同样也发现了很多很好的玉米棒子，但是这一次你吸取“后悔”的教训——前面一定有更好的。你一直向前走，直到发现自己差不多走出了玉米地。按照规则，你回不去了。就这样，你错过了最好的玉米棒子。

　　对于在玉米地选择玉米棒子的问题。数学家的策略是，你要把这片玉米地分成两个阶段。前37%为第一阶段。在这个阶段，你只看不选，就是认真观察比较这个阶段最大的玉米棒子，记住那个玉米棒子的大小。等过了37%，进入第二阶段。从这个阶段开始，你一旦遇到一个比第一阶段那个最大的玉米棒子还要大的玉米，或者类似的玉米，就毫不犹豫地选择它。

　　分两个阶段这个策略和37%这个数字，是数学家欧拉好不容易算出来的，这实际上是一个随机选择优化问题。这个办法就叫37%规则。37%的规则并不能保证你一定能选择到最大的玉米，但是在这片玉米地里，玉米棒子大小是随机出现的。在这种随机出现的情况下，它是一个能够选到一个足够大玉米的好办法。从概率的角度来讲，如果你看了不到37%的玉米就开始选择，你将来很可能后悔选早了；如果你看了超过37%的玉米开始选，你将来可能后悔选晚了。　　

　　假设这片玉米地有N个玉米，数学模型上说，就是先拒掉前面 k 个玉米，不管这些玉米有多大；然后从第 k+1 个玉米开始，一旦看到比之前所有玉米都要大的，就毫不犹豫地选择它。不难看出，k 的取值很讲究，太小了达不到试的效果，太大了又会导致真正可选的余地不多了。这就变成了一个纯数学问题：在玉米总数 n 已知的情况下，当 k 等于何值时，按上述策略选中最大玉米的概率最大？

　　如何求出最优的 k 值？对于某个固定的 k，如果最适合的玉米出现在了第 i 个位置，k的概率记作P(k)。

　　用 x 来表示 k/n 的值，并且假设 n 充分大，则上述公式可以写成：

　　对 -x · ln x 求导，并令这个导数为 0，可以解出 x 的最优值，它就是欧拉研究的神秘常数的倒数—— 1/e

　　由于 1/e 大约等于 0.37（e ≈2.718281828459），因此这条法则也叫做 37% 法则。

　　最优停止理论的一个经典案例：秘书问题。

　　我们在公司中工作，被招聘、面试人都有所经历，假如你是一个秘书，需要招聘一个人员，筛选了几分简历，决定面试4人，甲、乙、丙、丁。

　　每次面试之后，你有两个选择，要么聘用此人，要么拒绝。我们如何才能招聘最佳人选的机会最大，终止面试呢？

　　我们假设这四个人按照顺序丁＞丙＞乙＞甲，我们面试是随机的，前提也不知道丁是最棒的，如果我们面试完这四个人，是有24种可能的，也就是4种排列。

　　假如我们有三种策略：

　　第一种策略：面试完第一人就决定录用，能录用到丁的概率是25%；

　　第二种策略：面试完最后一人就决定录用（前三人不要），能录用到丁的概率是25%；

　　第三种策略：面试完第一人不做决定，作为判定标准，一旦出现比他高的人就录用，能录用到丁的概率是46%。

　　假如第一个人是就是丁，后面面试的能力都比他弱，我们就自行放弃吧，选中丁的概率是为0的；假如第一个人是甲，第二个人能力都比甲好，但是录取到丁的概率是2/24；假如第一个人是乙，第二个人是甲的话，肯定不用，第二个人是乙、丙、丁就会录用，但是能录用到丁的概率就是3/24；假如第一个人是丙，只有丁比他强，因此只要丁一出现就会被录取，有6/24的可能性，以上可能性加到一起就是11/24=46%。我们发现第三种策略能选到最优人员的概率要大。

　　注：以上计算各位可自行搜索，或是自己列一下24个排序，就可以计算出来。

　　以上是N=4的时候，当N变动时，概率是什么样子的呢？

　　请看下表：

　　当N无限大，我们作为标准的策略就是N/e（e是自然常数），概率就是1/e，是不是很神奇。假如人数是10000,，我们采取的策略是10000/2.71828=3678，不做录取，只做标准，选中最优人员的概率为1/e=36.8%≈37%。

　　这就是37%的由来，因此37%是我们在做最优停止时选择标准根据样本计算的依据。

　　比如你打算在18- 40岁之间找到人生的伴侣,那么按照37%理论来的话,前一段37%也就是 18-26.1岁,用来交往不同的男士，只交往不结婚。等你到了26.1岁的时候,坐下来确定你的“最基本的满意标准”。然后嫁给一个从那一 天开始你遇到的，第一个好于这个标准的男士，并且不再寻找最优方案。

　　再比如你想在一个月内买房子，那你可以用37%的时间看房子，确定“最基本满意标准”，然后从第12天开始，遇见一个好于这个标准的房子，就立即下手。

　　如果你一生可能要有10段恋爱，那么找到“那个他”的最大概率发生在拒绝4个恋人之后（代表39.87%的恋爱经历）。

　　如果你可能谈20段恋爱，则要拒绝前8个人（那个对的人在38.42%处等你）