37%法則

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37%法則、37%規則

　　37%法則，出自《演算法之美》^[1]一書。意思是經過數學家歐拉的實驗，以37%作為分界點，前面的時間用來觀察，後面的時間用來作決策的一種方法。

　　舉例來說，比如要買房子，整個地區的房子有30處，那麼需要先看37%的房子，也就是11個房子。37%前的房子只看不買，但是要記住自己認為最好的是什麼樣子。看完後，從37%以後只有遇到比之前最好的還要好的房子就應該下手買。

　　有這麼一個故事：一天，蘇格拉底帶領幾個弟子來到一塊麥地邊。他對弟子們說：“你們去麥地里摘一個最大的麥穗，只許前行不能回頭，我在麥地的盡頭等你們。”弟子們低頭前行，挑挑揀揀，總覺得最大的麥穗還在前面。雖然，有弟子試著摘了幾穗，但並不滿意，便隨手扔掉了。他們總以為機會還很多，完全沒有必要過早定奪。過了很久，很多弟子還是兩手空空。這時，傳來蘇格拉底的聲音：“你們已經到盡頭了。”是如弟子們一樣二手空空，還是如蘇格拉底所說，“麥地里肯定有一穗是最大的，但你們未必能碰到它；即便碰到，也未必能作出準確的判斷。因此最大的一穗就是你們剛剛摘下的。”

　　相似的問題，有一片玉米地，你需要從裡面摘選一個棒子最大的玉米。但只能摘一次，而且不能回頭。你第一次走進玉米地，發現很多很好很大的玉米棒子，很快摘下了你看到的第一個比較大的玉米棒子，然後繼續往前走，然而越走越失望，你沮喪地發現前面還有很多比你手裡的大得多的玉米棒子。但是你已經不能夠選擇了。你第二次走進玉米地，同樣也發現了很多很好的玉米棒子，但是這一次你吸取“後悔”的教訓——前面一定有更好的。你一直向前走，直到發現自己差不多走出了玉米地。按照規則，你回不去了。就這樣，你錯過了最好的玉米棒子。

　　對於在玉米地選擇玉米棒子的問題。數學家的策略是，你要把這片玉米地分成兩個階段。前37%為第一階段。在這個階段，你只看不選，就是認真觀察比較這個階段最大的玉米棒子，記住那個玉米棒子的大小。等過了37%，進入第二階段。從這個階段開始，你一旦遇到一個比第一階段那個最大的玉米棒子還要大的玉米，或者類似的玉米，就毫不猶豫地選擇它。

　　分兩個階段這個策略和37%這個數字，是數學家歐拉好不容易算出來的，這實際上是一個隨機選擇優化問題。這個辦法就叫37%規則。37%的規則並不能保證你一定能選擇到最大的玉米，但是在這片玉米地里，玉米棒子大小是隨機出現的。在這種隨機出現的情況下，它是一個能夠選到一個足夠大玉米的好辦法。從概率的角度來講，如果你看了不到37%的玉米就開始選擇，你將來很可能後悔選早了；如果你看了超過37%的玉米開始選，你將來可能後悔選晚了。　　

　　假設這片玉米地有N個玉米，數學模型上說，就是先拒掉前面 k 個玉米，不管這些玉米有多大；然後從第 k+1 個玉米開始，一旦看到比之前所有玉米都要大的，就毫不猶豫地選擇它。不難看出，k 的取值很講究，太小了達不到試的效果，太大了又會導致真正可選的餘地不多了。這就變成了一個純數學問題：在玉米總數 n 已知的情況下，當 k 等於何值時，按上述策略選中最大玉米的概率最大？

　　如何求出最優的 k 值？對於某個固定的 k，如果最適合的玉米出現在了第 i 個位置，k的概率記作P(k)。

　　用 x 來表示 k/n 的值，並且假設 n 充分大，則上述公式可以寫成：

　　對 -x · ln x 求導，並令這個導數為 0，可以解出 x 的最優值，它就是歐拉研究的神秘常數的倒數—— 1/e

　　由於 1/e 大約等於 0.37（e ≈2.718281828459），因此這條法則也叫做 37% 法則。

　　最優停止理論的一個經典案例：秘書問題。

　　我們在公司中工作，被招聘、面試人都有所經歷，假如你是一個秘書，需要招聘一個人員，篩選了幾分簡歷，決定面試4人，甲、乙、丙、丁。

　　每次面試之後，你有兩個選擇，要麼聘用此人，要麼拒絕。我們如何才能招聘最佳人選的機會最大，終止面試呢？

　　我們假設這四個人按照順序丁＞丙＞乙＞甲，我們面試是隨機的，前提也不知道丁是最棒的，如果我們面試完這四個人，是有24種可能的，也就是4種排列。

　　假如我們有三種策略：

　　第一種策略：面試完第一人就決定錄用，能錄用到丁的概率是25%；

　　第二種策略：面試完最後一人就決定錄用（前三人不要），能錄用到丁的概率是25%；

　　第三種策略：面試完第一人不做決定，作為判定標準，一旦出現比他高的人就錄用，能錄用到丁的概率是46%。

　　假如第一個人是就是丁，後面面試的能力都比他弱，我們就自行放棄吧，選中丁的概率是為0的；假如第一個人是甲，第二個人能力都比甲好，但是錄取到丁的概率是2/24；假如第一個人是乙，第二個人是甲的話，肯定不用，第二個人是乙、丙、丁就會錄用，但是能錄用到丁的概率就是3/24；假如第一個人是丙，只有丁比他強，因此只要丁一齣現就會被錄取，有6/24的可能性，以上可能性加到一起就是11/24=46%。我們發現第三種策略能選到最優人員的概率要大。

　　註：以上計算各位可自行搜索，或是自己列一下24個排序，就可以計算出來。

　　以上是N=4的時候，當N變動時，概率是什麼樣子的呢？

　　請看下表：

　　當N無限大，我們作為標準的策略就是N/e（e是自然常數），概率就是1/e，是不是很神奇。假如人數是10000,，我們採取的策略是10000/2.71828=3678，不做錄取，只做標準，選中最優人員的概率為1/e=36.8%≈37%。

　　這就是37%的由來，因此37%是我們在做最優停止時選擇標準根據樣本計算的依據。

　　比如你打算在18- 40歲之間找到人生的伴侶,那麼按照37%理論來的話,前一段37%也就是 18-26.1歲,用來交往不同的男士，只交往不結婚。等你到了26.1歲的時候,坐下來確定你的“最基本的滿意標準”。然後嫁給一個從那一 天開始你遇到的，第一個好於這個標準的男士，並且不再尋找最優方案。

　　再比如你想在一個月內買房子，那你可以用37%的時間看房子，確定“最基本滿意標準”，然後從第12天開始，遇見一個好於這個標準的房子，就立即下手。

　　如果你一生可能要有10段戀愛，那麼找到“那個他”的最大概率發生在拒絕4個戀人之後（代表39.87%的戀愛經歷）。

　　如果你可能談20段戀愛，則要拒絕前8個人（那個對的人在38.42%處等你）