闭图像定理

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闭图像定理(Closed graph theorem)

目录

什么是闭图像定理

  闭图像定理是数学中泛函分析的一条定理。

  设XY为巴拿赫空间,T:X \to Y为线性算子。定义T的图像为X \times Y的子空间

  \Gamma (T) = \{(x,T(x))\in X\times Y \vert x \in X\}

  赋予X \times Y范数\|(x,y) \|_{X\times Y} = \|x \|_X + \| y \|_Y,使得X \times Y成为巴拿赫空间。那么,这定理指T是连续的(与有界等价)当且仅当Γ(T)X \times Y内是闭集。

闭图像定理的证明

  闭图像定理可以从开映像定理推导出来。

  Γ(T)是闭集的充分必要条件是如果序列\{(x_n,y_n)\}_n\subset \Gamma(T)(即对任意nyn = T(xn)),而(x_n,y_n) \to (x,y),那么(x,y)\in \Gamma(T)y = T(x)。如果T是连续的,从连续性立刻可知Γ(T)是闭集,因为连续性是更强的条件:如果x_n \to x,则T(x_n)\to T(x)

  如果Γ(T)是闭集,可以在Γ(T)定义线性算子

  \pi_1: \Gamma (T) \to X,\ (x,y) \mapsto x

  \pi_2: \Gamma (T) \to Y,\ (x,y) \mapsto y

  显然\|\pi_2(x,y) \|_Y = \|y\|_Y \leq \|(x,y) \|_{X\times Y},因此π2是有界算子。

  Γ(T)是巴拿赫空间X\times Y中的闭子空间,所以Γ(T)是巴拿赫空间。X也是巴拿赫空间,π1是双射,从而由开映射定理的系可知,其逆\pi_1^{-1}:X \to \Gamma (T)为有界算子。

  因为T = \pi_2 \circ \pi_1^{-1},故T也是有界的。

闭图像定理的相关推论

  从这定理可得出黑林格-特普利茨定理──希尔伯特空间上处处定义的对称线性算子是有界的。

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