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闭图像定理

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闭图像定理（Closed graph theorem）

目录

1 什么是闭图像定理
2 闭图像定理的证明
3 闭图像定理的相关推论

什么是闭图像定理

　　闭图像定理是数学中泛函分析的一条定理。

　　设 $X$ ， $Y$ 为巴拿赫空间， $T:X \to Y$ 为线性算子。定义 $T$ 的图像为 $X \times Y$ 的子空间

　　 $\Gamma (T) = \{(x,T(x))\in X\times Y \vert x \in X\}$ 。

　　赋予 $X \times Y$ 范数 $\|(x,y) \|_{X\times Y} = \|x \|_X + \| y \|_Y$ ，使得 $X \times Y$ 成为巴拿赫空间。那么，这定理指 $T$ 是连续的（与有界等价）当且仅当 $Γ(T)$ 在 $X \times Y$ 内是闭集。

闭图像定理的证明

　　闭图像定理可以从开映像定理推导出来。

　　 $Γ(T)$ 是闭集的充分必要条件是如果序列 $\{(x_n,y_n)\}_n\subset \Gamma(T)$ （即对任意 $n$ 有 $y n = T (x n)$ ），而 $(x_n,y_n) \to (x,y)$ ，那么 $(x,y)\in \Gamma(T)$ ， $y = T (x)$ 。如果 $T$ 是连续的，从连续性立刻可知 $Γ(T)$ 是闭集，因为连续性是更强的条件：如果 $x_n \to x$ ，则 $T(x_n)\to T(x)$ 。

　　如果 $Γ(T)$ 是闭集，可以在 $Γ(T)$ 定义线性算子

　　 $\pi_1: \Gamma (T) \to X,\ (x,y) \mapsto x$ ，

　　 $\pi_2: \Gamma (T) \to Y,\ (x,y) \mapsto y$ 。

　　显然 $\|\pi_2(x,y) \|_Y = \|y\|_Y \leq \|(x,y) \|_{X\times Y}$ ，因此 $π 2$ 是有界算子。

　　 $Γ(T)$ 是巴拿赫空间 $X\times Y$ 中的闭子空间，所以 $Γ(T)$ 是巴拿赫空间。 $X$ 也是巴拿赫空间， $π 1$ 是双射，从而由开映射定理的系可知，其逆 $\pi_1^{-1}:X \to \Gamma (T)$ 为有界算子。

　　因为 $T = \pi_2 \circ \pi_1^{-1}$ ，故 $T$ 也是有界的。

闭图像定理的相关推论

　　从这定理可得出黑林格-特普利茨定理──希尔伯特空间上处处定义的对称线性算子是有界的。

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