开映射定理

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什么是开映射定理

  在泛函分析中,开映射定理是指如果巴拿赫空间之间的连续函数是满射的,那么它就是一个开映射。更加精确地:

   如果X和Y是巴拿赫空间,A : X → Y是一个满射的连续线性算子,那么A就是一个开映射(也就是说,如果U是X内的开集,那么A(U)在Y内是开放的)。

  该定理的证明用到了贝尔纲定理,X和Y的完备性都是十分重要的。如果仅仅假设X或Y是赋范空间,那么定理的结论就不一定成立。然而,如果X和Y是弗雷歇空间,那么定理的结论仍然成立。

开映射定理的重要推论

  开映射定理有一些重要的推论:

   如果A : X → Y是巴拿赫空间X和Y之间的双射连续线性算子,那么反函数A-1 : Y → X也是连续的。

   如果A : X → Y是巴拿赫空间X和Y之间的线性算子,且如果对于X内的每一个序列(xn),只要xn → 0且Axn → y就有y = 0,那么A就是连续的(闭图像定理)。

开映射定理的证明

  我们需要证明,如果A : X → Y是巴拿赫空间之间的连续线性满射,那么A就是一个开映射。为此,只需证明A把X内的单位球映射到Y的原点的一个邻域。

  设U,V分别为X和Y内的单位球。那么X是单位球的倍数kU的序列的并集,k ∈ N,且由于A是满射, Y=A(X)=A(\bigcup_{k \in \mathbb{N}} kU) = \bigcup_{k \in \mathbb{N}} A(kU).

  根据贝尔纲定理,巴拿赫空间Y不能是可数个无处稠密集的并集,故存在k > 0,使得A(kU)的闭包具有非空的内部。因此,存在一个开球B(c, r),其中心为c,半径r > 0,包含在A(kU)的闭包内。如果v ∈ V,那么c + rv和c位于B(c, r)内,因此是A(kU)的极限点,根据加法的连续性,它们的差rv是A(kU) -A(kU) \subset A(2kU)的极限点。根据A的线性,这意味着任何v\in V都位于A(δ1 U)的闭包内,其中δ = r / (2k)。于是可以推出,对于任何y\in Y和任何ε > 0,都存在某个x\in X,满足:

  \ ||x||< \delta^{-1} ||y|| \quad\quad ||y - Ax||< \varepsilon. \quad (1)

  固定y\in V。根据(1),存在某个x_1,满足 | | x1 | | 且||y − A x1||<δ / 2。定义序列{xn}如下。假设:   \ ||x_{n}||< 2^{-(n-1)} \quad\quad ||y-A(x_1+x_2+ \cdots +x_n)|| < \delta \, 2^{-n} \, ; \quad (2)

  根据(1),我们可以选择xn + 1,使得:

  \ ||x_{n+1}||< 2^{-n} \quad\quad ||y-A(x_1+x_2+ \cdots +x_n) - A(x_{n+1})|| <  \delta \, 2^{-(n+1)},

  因此xn + 1满足(2)。设

  \ s_n=x_1+x_2+ \cdots + x_n.

  从(2)的第一个不等式可知,{sn}是一个柯西序列,且由于X是完备的,sn收敛于某个x\in X。根据(2),序列Asn}}趋于y,因此根据A的连续性,有Ax=y。而且:

  ||x||=\lim_{n \rightarrow \infty} ||s_n|| \leq \sum_{n=1}^\infty ||x_n|| < 2.

  这表明每一个y\in\delta V都属于A(2U),或等价地,X内的单位球的像A(U)包含了Y内的开球(δ / 2)V。因此,A(U)是Y内0的邻域,定理得证。

开映射定理的推广

  X 或Y 的局部凸性不是十分重要的,但完备性则是:当X和Y是F空间时,定理仍然成立。更进一步,这个定理可以用以下的方法与贝尔纲定理结合:

   设X为F空间,Y为拓扑向量空间。如果A : X → Y是一个连续线性算子,那么要么A(X)是Y内的贫集,要么A(X) = Y。在后一个情况中,A是开映射,Y也是F空间。

  更进一步,在这个情况中,如果N是A的核,那么A有一个标准分解,形如下式:

  X\to (X/N)^\alpha \to Y

  其中X / N是X对闭集N的商空间(也是F空间)。商映射X → X / N是开放的,且映射α是拓扑向量空间的同构。

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