贝尔纲定理
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贝尔纲定理（Belve's theorem）
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贝尔纲定理是指点集拓扑学和泛函分析中的一个重要的工具。这个定理有两种形式，每一个都给出了拓扑空间是贝尔空间的充分条件。
该定理由勒内-路易•贝尔在他1899年的博士论文中证明。
一个贝尔空间是一个拓扑空间，具有以下性质：对于任意可数个开集Un，它们的交集∩ Un都是稠密的。
（BCT1）每一个完备度量空间都是贝尔空间。更一般地，每一个同胚于某个完备空间的开子集的拓扑空间都是贝尔空间。因此每一个完备可度量化的拓扑空间都是贝尔空间。
（BCT2）每一个局部紧豪斯多夫空间都是贝尔空间。其证明类似于前一个陈述；有限交集性质取得了完备性扮演的角色。
注意从以上任何一个命题都不能推出另一个，因为存在一个不是局部紧的完备度量空间（带有定义如下的度量的无理数），也存在一个不可度量化空间（不可数福特空间）。
（BCT3）一个非空的完备度量空间不是可数个无处稠密集（也就是闭包具有稠密补集的集合）的并集。
这个表述是BCT1的一个结果，有时更加有用。另外，如果一个非空的完备度量空间是可数个闭集的并集，那么其中一个闭集具有非空的内部。
以下是完备度量空间X是贝尔空间的一个标准的证明。
设Un为一个开稠密子集的集合。我们希望证明交集
是稠密的。为此，设
为一个开子集。根据稠密性，存在x1和r1 > 0，使得：
。
递归地，我们求出xn和rn > 0，使得：
而且rn < n − 1。
由于当n > m时，
，因此xn是柯西序列，且xn收敛于某个极限x。对于任何n，根据封闭性，有：
。
因此，对于所有n，都有
且
。
BCT1可以用来证明开映像定理、闭图像定理和一致有界原理。
BCT1也表明每一个没有孤立点的完备度量空间都是不可数的。（如果X是一个可数的完备度量空间且没有孤立点，那么在X中每一个单元素集合都是无处稠密的，因此X在它本身内是第一纲）。特别地，这证明了所有实数所组成的集合是不可数的。
BCT1表明以下每一个都是贝尔空间：
·实数空间R；
·无理数，其度量定义为d(x, y) = 1 / (n + 1)，其中n是使x和y的连分数展开式不同的第一个指标（这是一个完备度量空间）；
·康托尔集。
根据BCT2，每一个流形都是贝尔空间，因为它是局部紧空间，也是豪斯多夫空间。这甚至对非仿紧（因此不可度量化）的流形如长直线也是成立的。
