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贝尔纲定理

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出自 MBA智库百科(https://wiki.mbalib.com/)

贝尔纲定理(Belve's theorem)

目录

[隐藏]

什么是贝尔纲定理

  贝尔纲定理是指点集拓扑学和泛函分析中的一个重要的工具。这个定理有两种形式,每一个都给出了拓扑空间是贝尔空间的充分条件。

  该定理由勒内-路易•贝尔在他1899年的博士论文中证明。

贝尔纲定理的内容

  一个贝尔空间是一个拓扑空间,具有以下性质:对于任意可数个开集Un,它们的交集∩  Un都是稠密的。

  (BCT1)每一个完备度量空间都是贝尔空间。更一般地,每一个同胚于某个完备空间的开子集的拓扑空间都是贝尔空间。因此每一个完备可度量化的拓扑空间都是贝尔空间。

  (BCT2)每一个局部紧豪斯多夫空间都是贝尔空间。其证明类似于前一个陈述;有限交集性质取得了完备性扮演的角色。

  注意从以上任何一个命题都不能推出另一个,因为存在一个不是局部紧的完备度量空间(带有定义如下的度量的无理数),也存在一个不可度量化空间(不可数福特空间)。

  (BCT3)一个非空的完备度量空间不是可数个无处稠密集(也就是闭包具有稠密补集的集合)的并集。

  这个表述是BCT1的一个结果,有时更加有用。另外,如果一个非空的完备度量空间是可数个闭集的并集,那么其中一个闭集具有非空的内部。

贝尔纲定理的证明

  以下是完备度量空间X是贝尔空间的一个标准的证明。

  设Un为一个开稠密子集的集合。我们希望证明交集\bigcap U_n是稠密的。为此,设W \subset X为一个开子集。根据稠密性,存在x1r1 > 0,使得:

  \overline{B}(x_1, r_1) \subset W \cap U_1

  递归地,我们求出xnrn > 0,使得:

  \overline{B}(x_n, r_n) \subset B(x_{n-1}, r_{n-1}) \cap U_n而且rn < n − 1

  由于当n > m时,x_n \in B(x_m, r_m),因此xn是柯西序列,且xn收敛于某个极限x。对于任何n,根据封闭性,有:

  x \in \overline{B}(x_{n+1}, r_{n+1}) \subset B(x_n, r_n)

  因此,对于所有n,都有x \in Wx \in U_n\square

贝尔纲定理的应用

  BCT1可以用来证明开映像定理、闭图像定理和一致有界原理。

  BCT1也表明每一个没有孤立点的完备度量空间都是不可数的。(如果X是一个可数的完备度量空间且没有孤立点,那么在X中每一个单元素集合都是无处稠密的,因此X在它本身内是第一纲)。特别地,这证明了所有实数所组成的集合是不可数的。

  BCT1表明以下每一个都是贝尔空间:

  ·实数空间R;

  ·无理数,其度量定义为d(x, y) = 1 / (n + 1),其中n是使x和y的连分数展开式不同的第一个指标(这是一个完备度量空间);

  ·康托尔集。

  根据BCT2,每一个流形都是贝尔空间,因为它是局部紧空间,也是豪斯多夫空间。这甚至对非仿紧(因此不可度量化)的流形如长直线也是成立的。

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