理发师悖论

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理发师悖论(Barber paradox)

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什么是理发师悖论

  理发师悖论罗素悖论的通俗举例,是由伯特兰·罗素在1901年提出的。罗素悖论的出现是由于朴素集合论对于元素的不加限制的定义。由于当时集合论已成为数学理论的基础,这一悖论的出现直接导致了第三次数学危机,也引发了众多的数学家对这一问题的补救,最终形成了现在的公理化集合论。同时,罗素悖论的出现促使数学家认识到将数学基础公理化的必要性。

理发师悖论的内容

  一个城市里唯一的理发师立下了以下的规定:只帮那些自己不理发的人理发。

  现在问一个问题:理发师应该为自己理发吗?

  你会发现理发师处于两难,因为:

  • 如果理发师不给自己理发,他需要遵守规则,帮自己理发.
  • 如果理发师是自己理发的,他需要遵守规则,不给自己理发

  换用集合语言:

  可以把集合分为两类,凡不以自身为元素的集合称为第一类集合;凡以自身作为元素的集合称为第二类集合。显然每个集合或为第一类集合或为第二类集合。设\mathbf{A}为第一类集合的全体组成的集合。

  • 如果\mathbf{A}是第一类集合,由集合\mathbf{A}的定义知:\mathbf{A}应该是\mathbf{A}的元素,这表明\mathbf{A}是第二类集合
  • 如果\mathbf{A}是第二类集合,那么\mathbf{A}是它自身的元素

  二者皆导出矛盾,而整个讨论逻辑上是没有问题的。问题只能出现在集合的定义上。

数学语言

  设对于一类集合,A_1 = \{ a_{1,1}, a_{1,2}, \cdots a_{1,i} \cdots \} , A_2 = \{ a_{2,1} , a_{2,2} , \cdots , a_{2,i} \cdots \} , \cdots ,A_i = \{ a_{i,1} , a_{i,2} , \cdots , a_{i,j } \cdots \}都满足条件a_{i,j} \not\in A_i \left( i = 1, 2,\cdots j = 1, 2, \cdots \right)

  但A_i \in A_i一切这类集合构成新集合A = \{ A_1 , A_2 , \cdots , A_i , \cdots \} , A_i \in A

  那么是否有A \in A?如果认为A \in A ,A应该不是自身集合的元素,即A \not\in A,如果A \in A , A就应是本集合的元素,即A \not\in A,所以矛盾。

补救

  由于罗素悖论的出现所引发的第三次数学危机,公理化集合论势在必行。 德国数理逻辑学家策梅洛(Zermelo,1871年-1953年)应用自己的公理系统,使得集合在[[公理] ]的限制下不会太大,从而避免了罗素悖论。经过改进,这一系统形成了现在被称为ZF系统的公理集合论体系。这个体系至今没有发现悖论。

罗素悖论、理发师悖论和异己词悖论的关系[1]

  按我们通常对集合的理解,我们可以把集合分成两种,一种是属于自身的,即自己是自己的元素,另一种是不属于自身的。设S是由所有不自身的集合组成的集合,那么S是否属于它自己?若S属于S,依S的定义,S中的元素都不应该属于自己;而若S不属于S,则按照S的定义,S应该是所有不属于自己的集合构成的集合,那么S又属于S。即不论假定S属于自己还是不属于自己,都将导致矛盾。

  理发师悖论罗素悖论是等价的。因为,如果把每个人看成一个集合,这个集合的元素被定义成这个人刮脸的对象。那么,理发师宣称,他的元素,都是村里不属于自身的那些集合,并且村里所有不属于自身的集合都属于他。那么他是否属于他自己?这样就由理发师悖论得到了罗素悖论。反过来的变换也是成立的。

  异己词悖论:在语言中,有些形容词可以描述自身,有些形容词则不可以描述自身。例如形容词 “short”(短的)和“English”(英国的)可以修饰自身,因为short只有五个字母,English本身也是英语单词。而“long”(长的)和“French”(法国的)则不能修饰自身。又如“polysyllabic”(多音节的)这个词是多音节的,但“monosyllabic”(单音节的)这个词却不是单音节的。看来可以这么说,一个词或者可以用于自己,或者不可以。我们称那些能描述自身的词为同己的(autological),称那些不能描述自身的词为异己的(heterological)。现在让我们来考虑异己的(heterological)这个词,它是同己的还是异己的呢?如果它是同己的,则依同己的定义,它能描述自身,所以它是异己的。如果它是异己的,由于它能描写自身,所以应该是同己的。这样一来,每一个关于这个词的假设都会导致矛盾。

  我们按照理发师悖论和罗素悖论关系那样思考,我们把一个词与一个集合关联,这个集合是由这个词所能修饰的词构成的,那么异己的(heterological)这个词就恰恰对应了罗素悖论中“所有不自身的集合组成的集合”。这么说来,异己词悖论也等价于罗素悖论。如果用符号来表示异己词这一概念,则更加明显:X是异己的,如果X并非X。这和罗素悖论中的“X属于S,如果X不属于X”何其相似!实际上,它们的逻辑结构相同。

  但是,我至今没有看到哪本书上叙述过它们的这种关系,所有介绍这几个悖论的书都只是明确承认前两个悖论是等价的,而异己词悖论经常被单独讨论。甚至有些书上竟然把异己词悖论说成是一种“语义学悖论”,而把罗素悖论说成是纯逻辑悖论。这样的分法有什么根据呢?难道异己词悖论中涉及词语本身的语义,就说它是语义学的吗?按照《数学,确定性的丧失》的说法,语义学悖论“涉及到一个词的真实性和可定义性或模糊应用等概念,相应地采用这些概念的严格定义能解决上述悖论。”这提醒我们,有些词义本身是模糊不清的,比如说,长度为多少的词可以用long来修饰?没有什么标准。但是,如果把所有英语形容词的词义严格地界定起来,那么异己词悖论就真正等价于罗素悖论了。所以,悖论本身并没有因为概念的严格定义而得到解决。

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评论(共10条)

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刘伟 (Talk | 贡献) 在 2012年7月31日 14:32 发表

士大夫说道发生的

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beifang (Talk | 贡献) 在 2012年12月18日 03:51 发表

真不愧为哲人的高论! 但如果按这样一直推论下去的话,是不是可以这样理解:法官只是给除他(她)之外任何人定罪的法官,而与他(她)自己犯不犯法无关? 警察可以尽管抓坏人,而自己永远不用担心有其他警察抓他(她)?即便是违法? 教师无论怎样教育学生他(她)都是在行使他(她)的教育别人的权利,而无论是正确与错误的教学方式? 而孩子永远只有言听计从,而丝毫没有权利辩解真正的是非对错?

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beifang (Talk | 贡献) 在 2012年12月18日 04:07 发表

不过,话又说回来,罗大叔讲的虽然是故事,但确切地说是"概念故事";这是他的一贯风格……

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王玫仑 (Talk | 贡献) 在 2013年4月26日 05:22 发表

对不起、我以为编辑是添加编辑到文后。结果把第一条人家的编辑给误删了。麻烦MBA请恢复原作者部分。

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Dan (Talk | 贡献) 在 2013年4月26日 09:42 发表

王玫仑 (Talk | 贡献) 在 2013年4月26日 05:22 发表

对不起、我以为编辑是添加编辑到文后。结果把第一条人家的编辑给误删了。麻烦MBA请恢复原作者部分。

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赵超越 (Talk | 贡献) 在 2013年8月9日 17:39 发表

嗯嗯 不同的角色扮演下就会有不同的立场。如果一定要忽视这一点的话那只能是悖论

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Rushgo 01 (Talk | 贡献) 在 2013年9月30日 13:02 发表

这个悖论在现实生活中有什么意义呢?

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jammy (Talk | 贡献) 在 2014年4月6日 00:38 发表

看的我糊涂了

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互联好运 (Talk | 贡献) 在 2018年10月30日 21:54 发表

艺无止境乐是岸?

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Alading (Talk | 贡献) 在 2018年11月8日 17:54 发表

我上划时屏幕会闪动,你们会吗?

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