多因子模型

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多因子模型(Multifactor Model)

目录

什么是多因子模型[1]

  多因子模型是关于资产定价的模型。与资本资产定价模型单指数模型不同,多因子模型认为证券价格并不仅仅取决于证券风险,还取决于其他一些因素,如,投资者未来预期收入、未来消费品相对价格及未来的投资机会等。

  多因子模型的理论背景是Ross基于套利原理创立的套利定价理论(APT)和Merton基于均衡原理创立的跨时期资本资产定价模型(ICAPM)。

多因子模型的基本形式[2]

  \overline{K}_{it}=a_i + b_{i1} \delta_{1t} + b_{i2} \delta_{2t} + \cdots + b_{ik} \delta_{kt} + e_{it}

  式中:δkt——第是个风险因素在时期,的意外变化;bik资产i对第是个风险因素的敏感系数

多因子模型的种类[3]

  第一,Brennan—Schwartz模型

  Brennan—Schwartz模型运用短期长期利率作为因子解释利率期限结构短期利率对长期均衡有均值回复的效应,并遵循对数正态过程,长期利率遵循另外的对数正态过程,即:

  dlnr = a(lnl − lnr)dt + b1W1

  dl = la(r,l,b2)dt + b2ldW2

  其中E[dW1dW2] = pdt.从模型中无法直接得到债券价格的封闭解,必须求解其数值解。

  第二,Richard模型

  Richard模型运用实际利率ρ通货膨胀率π作为两种因子,两者相互独立,并遵循以下平方根过程:

  dp=a_p(\rho - \rho^*)dt + b_\rho \sqrt{\rho d}W_1

  d \pi=a_\pi (\pi - \pi^*)dt + b_\pi \sqrt{\pi d}W_2

  得到名义利率实际利率、通货膨胀率之间的关系式:

  r = ρ + π(1 − var[dP / P])

  其中,P表示预期变化为通货膨胀率的价格。因而名义债券价格的解为:

  P(t,T)=\hat{E}_t[exp(-\int_t^T r(u)du)]=\hat{E}_t[exp(-\int_t^T \rho(u)du)] \hat{E}_t[exp(-\int_t^T \pi(u)du)] exp(1-V_P)

  第三,Cox-Ingersoll-Ross/Langetieg模型

  1985年,Cox,Ingersoll和Ross又发展了两因子模型,认为利率的变化除了短期利率的随机过程外,还存在长期利率的随机过程。遵循CIR模型的思路,瞬时利率r可以分解成两个独立的因子Y1Y2(即r = y1 + y2),则关于债券价格的解为:

  P(t,T)=\hat{E}_t{exp[-\int_t^T r(u)du]}=\hat{E}_t{exp[-\int_t^T y_1(u)du]} \hat{E}_t{exp[-\int_t^T y_2(u)du]}=P_1(t,T)P_2(t,T)

  如果每一因子都遵循Vasicek假设,那么其中每一个P值都会有单因子解;如果每一因子都遵循CIR假设,那么债券价格将是两个CIR公式的乘积。

  第四,Longstaff-Schwartz模型

  Longstaff-Schwartz模型与CIR模型的区别在于它将无法观测到的因子映射为在确定利率期限结构中重要的可观测的因子.其中两种状态变量可以写成:

  dy_1=(a - by_1)dt + c \sum{y_1}dW_1

  dy_2=(d - ey_1)dt + f \sum{y_2}dW_2

  其中,dW1dW2 = 0,根据CIR,均衡的利率水平及其波动率为:

  r = αy1 + βy2

  r = α2y1 + β2y2

  运用伊腾法则(Ito's lemma)解联立方程,得到dr和dV的表达式,从而得到债券价格的封闭解。

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参考文献

  1. 胡代光,高鸿业主编.西方经济学大辞典.经济科学出版社,2000
  2. 常巍.证券投资学.复旦大学出版社,2006
  3. 田新民著.金融工程前沿.首都经济贸易大学出版社,2010
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