狀態價格定價法

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　　狀態價格指的是在特定的狀態發生時回報為1，否則回報為0的資產在當前的價格。

　　如果未來時刻有N種狀態，而這N種狀態的價格我們都知道，那麼我們只要知道某種資產在未來各種狀態下的回報狀況以及市場無風險利率水平，我們就可以對該資產進行定價，這就是狀態價格定價技術。

　　A是有風險證券，其目前的價格是P_A，一年後其價格要麼上升到uP_A，要麼下降到dP_A。 這就是市場的兩種狀態：上升狀態（概率是q）和下降狀態（概率是1-q）。

　　基本證券1在證券市場上升時價值為1，下跌時價值為0；基本證券2恰好相反，在市場上升時價值為0，在下跌時價值為1。基本證券1現在的市場價格是π_u，基本證券2的價格是π_d。

　　購買uP_A份基本證券1和dP_A份基本證券2組成一個假想的證券組合。該組合在T時刻無論發生什麼情況，都能夠產生和證券A一樣的現金流

　　P_A = π_uuP_A + π_ddP_A或1 = π_uu + π_dd

　　由單位基本證券組成的組合在T時刻無論出現什麼狀態，其回報都是1元。這是無風險的投資組合，其收益率應該是無風險收益率r

　　π_u + π_d = e ^{− r(T − t)}

　　所以 ;　　

　　只要有具備上述性質的一對基本證券存在，我們就能夠通過複製技術，為金融市場上的任何有價證券定價。

　　關於有價證券的價格上升的概率p，它依賴於人們作出的主觀判斷，但是人們對p認識的分歧不影響為有價證券定價的結論。

　　無套利分析（包括其應用狀態價格定價技術）的過程與結果同市場參與者的風險偏好無關。

　　假設某股票符合我們上面提到的兩種市場狀態，即期初價值是S₀，期末價值是S₁，這裡S₁只可能取兩個值：一是S₁ = S^u = uS₀,u＞1,二是S₁ = S^d = dS₀,d＜1。我們現在想要確定的是依附於該股票的看漲期權的價值是多少？

　　我們構造這樣一個投資組合，以便使它與看漲期權的價值特征完全相同：以無風險利率r借入一部分資金B（相當於做空無風險債券），同時在股票市場上購入N股標的股票。該組合的成本是N S₀ − B，到了期末，該組合的價值V是N S₁ − RB，R是利率因數。對應於S₁的兩種可能，V有兩個取值：如果S₁ = S^u,則V=V^u= N S_u − RB，如果S₁ = S^d, 則V = V^d = NS^d − RB。

　　V^u = NS^u − e^{r(T − t)}B = c^u

　　V^d = NS^d − e^{r(T − t)}B = c^d

　　N = (c^u − c^d) / (S^u − S^d) = ((c^u − c^d) / [(u − d)S₀]

　　B = (S^dc^u − S^uc^d) / [(S^u − S^d)e^{r(T − t)}] = (NS^d − c^d)e ^{− r(T − t)} = (dc^u − uc^d)er(T − t) / (u − d)

　　由於期初的組合應該等於看漲期權的價值，即有N S₀ − B=c₀,把N和B 代入本式中，得到看漲期權的價值公式

　　c₀ = [pc^u + (1 − p)c^d]e ^{− r(T − t)}

　　其中p = (e^{r(T − t)}S₀ − S^d) / (S^u − S^d) = (e^{r(T − t)} − d) / (u − d)