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·== 悖論並非是錯誤的 ==
悖論指在邏輯上可以推導出互相矛盾之結論，但錶面上又能自圓其說的命題或理論體系。悖論的出現往往是因為人們對某些概念的理解認識不夠深刻正確所致。 悖論的成因極為複雜且深刻， 對它們的深入研究有助於數學、邏輯學、語義學等等理論學科的發展，因此具有重要意義。 其中最經典的悖論包括羅素悖論、說謊者悖論、康托悖論等等。
目錄[隱藏]
概念 原理 形式 類型 經典數學悖論 １－１ 謊言者悖論 １－２ “我在說謊”· １－３ “這句話是錯的” １－４ 理髮師悖論 １－５ 集合論悖論 １－６ 書目悖論 １－７ 蘇格拉底悖論 １－８ “荒謬的真實” ２－１ 阿基裡斯悖論 ２－２ 二分法悖論 ２－３ “飛矢不動” ２－４ “飛鳥之景，未嘗動也” ２－５ “一尺之捶，日取其半，萬世不竭” ２－６ “點一樣多？” ３－１ “什麼是詭辯？” ３－２ “父在母先亡” ３－３ 鄧析贖屍詭論 ３－４ 公孫龍論秦趙之約 ３－６ “我沒有受賄” ３－７ 囚犯詭論 ４－１ “白馬非馬” ４－２ “殺盜非殺人也” ４－３ 堅白石論 ４－４ 怎麼翻譯？ ５－１“羅素是教皇” ５－２“亞裡斯多德是類概念” ５－３自相矛盾 ５－４紙牌悖論 ５－５“悖論元” ５－６“先有雞，還是先有蛋？” ５－７ “上帝和石頭” ５－８“你會殺掉我” ５－９“你會吃掉我的孩子” ５－１０兩小兒辯日 ５－１１愛瓦梯爾應不應該付學費？ ５－１２梵學者的“預言” ６－１阿雷斯（Ａｌｌａｉｓ）悖論 ６－２紐卡（Ｎｅｗｃｏｍｂｓ）悖論 ６－３谷“堆”的定義 ６－４禿頭的定義 ６－４“一整袋穀子落地沒有響聲” ６－５預料之外的絞刑時間 ６－６“卵有毛” ６－７寶塔從有到無 ６－８孿生子佯謬 ６－９“會變的尺” ６－１０夜空為什麼是暗的？ 後記概念 原理 形式 類型 經典數學悖論 １－１ 謊言者悖論 １－２ “我在說謊” １－３ “這句話是錯的” １－４ 理髮師悖論 １－５ 集合論悖論 １－６ 書目悖論 １－７ 蘇格拉底悖論 １－８ “荒謬的真實” ２－１ 阿基裡斯悖論 ２－２ 二分法悖論 ２－３ “飛矢不動” ２－４ “飛鳥之景，未嘗動也” ２－５ “一尺之捶，日取其半，萬世不竭” ２－６ “點一樣多？” ３－１ “什麼是詭辯？” ３－２ “父在母先亡” ３－３ 鄧析贖屍詭論 ３－４ 公孫龍論秦趙之約 ３－６ “我沒有受賄” ３－７ 囚犯詭論 ４－１ “白馬非馬” ４－２ “殺盜非殺人也” ４－３ 堅白石論 ４－４ 怎麼翻譯？ ５－１“羅素是教皇” ５－２“亞裡斯多德是類概念” ５－３自相矛盾 ５－４紙牌悖論 ５－５“悖論元” ５－６“先有雞，還是先有蛋？” ５－７ “上帝和石頭” ５－８“你會殺掉我” ５－９“你會吃掉我的孩子” ５－１０兩小兒辯日 ５－１１愛瓦梯爾應不應該付學費？ ５－１２梵學者的“預言” ６－１阿雷斯（Ａｌｌａｉｓ）悖論 ６－２紐卡（Ｎｅｗｃｏｍｂｓ）悖論 ６－３谷“堆”的定義 ６－４禿頭的定義 ６－４“一整袋穀子落地沒有響聲” ６－５預料之外的絞刑時間 ６－６“卵有毛” ６－７寶塔從有到無 ６－８孿生子佯謬 ６－９“會變的尺” ６－１０夜空為什麼是暗的？ 後記
[編輯本段]概念
bèilùn （paradox，也稱逆論，反論） 邏輯學指可以同時推導或證明兩個互相矛盾的命題的命題或理論體系。悖論的定義可以這樣表述：由一個被承認是真的命題為前提，設為B，進行正確的邏輯推理後，得出一個與前提互為矛盾命題的結論非B；反之，以非B為前提，亦可推得B。那麼命題B就是一個悖論。當然非B也是一個悖論。我們可以按照某些制定或約定的公理規則去判定或證明某一命題的真假，但是我們按照制定或約定的公理規則去判定或證明有些命題的真假時，有時卻出現發生了無法解決的悖論問題，這種情況說明瞭什麼問題？ 自然在整體上是包含多樣性的，而我們卻置這些情況於不顧，而專門關註屬於我們感興趣的那一種特殊情況，當特殊情況與其它相反的情況或普遍性存在的一般情況相遇時必然產生某種相悖的結論。不是數學悖論對數學基礎產生大的危機影響，而是對邏輯和認識產生重大影響。 無限集合本身就是一個模糊不清的概念規定，有限是可以稱為集合，無限是不能稱為集合的。集合是指表示在某一個範圍內無限則是指範圍為無限大的，否則就不應該稱為無限而稱有限。無限不應該成為一個任意性選擇或適用的範圍，一個數量當超過人類所能達到或認識的程度便進入無限的範圍之中。到現在為止，人類還沒有完全清楚地知道我們所能認識到的半徑有多大，所以無法準確精確地規定無限與有限它們之間的界限究竟在那裡。 集合本身的概念就是一個沒有限制性的概念，總的集合可任意分成若幹集合，都是集合，確切地說我們不知道究竟是在那種意義前提限制下的集合。 子集合中存在悖論，或與別的集合之間存在悖論，子母集合之間也還存在悖論，因為在每種具體的子集合中都有屬於它自身的規定規則，只在自身範圍有效。超越範圍則失效，這是永遠不可避免或取消的。除非取消類的集合層次之間的區別，那麼 又不符合對待具體事物的態度，無法滿足實際應用要求。另外集合的本義與引申義常混合使用，有時與元素意義混同，集合在低層次相當於元素，當上升時為集合，當再次上升時又相當於元素，是累積式的。 羅素悖論在當它們還沒有進行相互聯繫時是有效的，當它們進行相互聯繫時即它們已經成為一個類或一個整體，那麼一個類或一個整體中是不允許或無法執行兩種衡量標準或規定的，自我否定是和沒說一個樣，或等於沒有規定一樣。 哥德爾關於一階邏輯完全性定理與不完全性定理的本身就是悖論，已經暴露出邏輯導致發生的問題。哥德爾不完全性定理是缺乏評判，以決定的主導方面為衡量標準，或衡量標準過多而引起的悖論。所謂的標準也是一種規定。失效以後還可以根據實際需要再次進行新的規則規定，反正原來的規則也是規定，為什麼出現發生悖論以後不可以再次重新進行規定規則，以滿足實際應用的目的的需要呢？明明是自己的規定，可是自己又製造新的規定來破壞原來的規定，如果這樣來幹活，那麼將永遠有活幹了，永遠有乾不完的活。 類是人為區分出來的，但類是根據需要人為任意性製造的，若分類，故類有所不同。在整體上卻不存在類同與不同，由於類不同，故數也有所不同，有些不同相悖是很正常必然的。然而人們又想進行類與數之間變換，那麼又不得不重新再作新的規定。 證明也只是按照預先所設置和認為的規定去操作，必然會符合規定，我們只管按規定操作執行好了，證明又有什麼作用或意義呢？類的悖論問題不是通過進行證明就所能解決得了的。 悖論是屬於領域廣闊、定義嚴格的數學分支的一個組成部分，這一分支以“趣味數學”知名於世。這就是說它帶有強烈的游戲色彩。然而，切莫以為大數學家都看不起“趣味數學”問題。歐拉就是通過對bridge-crossing之謎的分析打下了拓撲學的基礎。萊布尼茨也寫到過他在獨自玩插棍游戲（一種在小方格中插小木條的游戲）時分析問題的樂趣。希爾伯特證明瞭切割幾何圖形中的許多重要定理。馮·紐曼奠基了博弈論。最受大眾歡迎的電腦游戲—生命是英國著名數學家康威發明的。愛因斯坦也收藏了整整一書架關於數學游戲和數學謎的書。 悖論(paradox)來自希臘語“para+dokein”，意思是“多想一想”。這個詞的意義比較豐富，它包括一切與人的直覺和日常經驗相矛盾的數學結論，那些結論會使我們驚異無比。 悖論是自相矛盾的命題。即如果承認這個命題成立，就可推出它的否定命題成立；反之，如果承認這個命題的否定命題成立，又可推出這個命題成立 如果承認它是真的，經過一系列正確的推理，卻又得出它是假的；如果承認它是假的，經過一系列正確的推理，卻又得出它是真的。 古今中外有不少著名的悖論，它們震撼了邏輯和數學的基礎，激發了人們求知和精密的思考，吸引了古往今來許多思想家和愛好者的註意力。解決悖論難題需要創造性的思考，悖論的解決又往往可以給人帶來全新的觀念。 最早的悖論被認為是古希臘的"說謊者悖論".
[編輯本段]原理
同時假定兩個或更多不能同時成立的前提，是一切悖論問題的共同特征。 一般地說，由於悖論是一種形式矛盾，即是某些特殊的思想規定的產物，它們就不可能是事物辯證性質的直接反映；進而，我們也就不能把它們說成是“特殊的客觀真理”，而只能說它們是“歪曲了的真理”。 因此，悖論實質上是客觀實在的辯證性與主觀思維的形而上學性及形式邏輯化的方法的矛盾的集中表現。具體地說，作為客觀世界的一個部分或側面，認識或理論(數學理論、語義學理論)的研究對象在本質上往往是辯證的，即是諸對立環節的統一體；然而，由於主觀思維方法上的形而上學或形式邏輯化的方法的限制，客觀對象的這種辯證性在認識過程中常常遭到了歪曲：對立統一的環節被絕對地割裂開來，並被片面地誇大，以致達到了絕對、僵化的程度，從而辯證的統一就變成了絕對的對立；而如果再把它們機械地重新聯結起來，對立環節的直接衝突就是不可避免的了，而這就是悖論。
[編輯本段]形式
悖論有三種主要形式。 1．一種論斷看起來好像肯定錯了，但實際上卻是對的（佯謬）。 2．一種論斷看起來好像肯定是對的，但實際上卻錯了（似是而非的理論）。 3．一系列推理看起來好像無懈可擊，可是卻導致邏輯上自相矛盾。
[編輯本段]類型
悖論主要有邏輯悖論、概率悖論、幾何悖論、統計悖論和時間悖論等。 羅素的悖論以其簡單明確震動了整個數學界，造成第三次數學危機。但是，羅素悖論並不是頭一個悖論。老的不說，在羅素之前不久，康托爾和布拉里·福蒂已經發現集合論中的矛盾。羅素悖論發表之後，更出現了一連串的邏輯悖論。這些悖論使入聯想到古代的說謊者悖論。即“我正在說謊”，“這句話是謊話”等。這些悖論合在一起，造成極大問題，促使大家都去關心如何解決這些悖論。 頭一個發表的悖論是布拉里·福蒂悖論，這個悖論是說，序數按照它們的自然順序形成一個良序集。這個良序集合根據定義也有一個序數Ω，這個序數Ω由定義應該屬於這個良序集。可是由序數的定義，序數序列中任何一段的序數要大於這段之內的任何序數，因此Ω應該比任何序數都大，從而又不屬於Ω。這是布拉里·福蒂1897年3月28日在巴洛摩數學會上宣讀的一篇文章里提出的。這是頭一個發表的近代悖論，它引起了數學界的興趣，並導致了以後許多年的熱烈討論。有幾十篇文章討論悖論問題，極大地推動了對集合論基礎的重新審查。 布拉里·福蒂本人認為這個矛盾證明瞭這個序數的自然順序只是一個偏序，這與康托爾在幾個月以前證明的結果序數集合是全序相矛盾，後來布拉里·福蒂在這方面並沒有做工作。 羅素在他的《數學的原理》中認為，序數集雖然是全序，但並非良序，不過這種說法靠不住，因為任何給定序數的初始一段都是良序的。法國邏輯學家茹爾丹找到—條出路，他區分了相容集和不相容集。這種區分實際上康托爾已經私下用了許多年了。不久之後，羅素在1905年一篇文章中對於序數集的存在性提出了疑問，策梅羅也有同樣的想法，後來的許多人在這個領域都持有同樣的想法。
[編輯本段]經典數學悖論
古今中外有不少著名的悖論，它們震撼了邏輯和數學的基礎，激發了人們求知和精密的思考，吸引了古往今來許多思想家和愛好者的註意力。解決悖論難題需要創造性的思考，悖論的解決又往往可以給人帶來全新的觀念。 本文將根據悖論形成的原因，粗略地把它歸納為六種類型，分上、中、下三個部份。這是第一部份：由概念自指引發的悖論和引進無限帶來的悖論 （一）由自指引發的悖論 以下諸例都存在著一個概念自指或自相關的問題：如果從肯定命題入手，就會得到它的否定命題；如果從否定命題入手，就會得到它的肯定命題。
１－１ 謊言者悖論
公元前六世紀，哲學家克利特人艾皮米尼地斯（Ｅｐｉｍｅｎｉｄｅｓ）：“所有克利特人都說謊，他們中間的一個詩人這麼說。”這就是這個著名悖論的來源。 《聖經》里曾經提到：“有克利特人中的一個本地中先知說：‘克利特人常說謊話，乃是惡獸，又饞又懶’”（《提多書》第一章）。可見這個悖論很出名，但是保羅對於它的邏輯解答並沒有興趣。 人們會問：艾皮米尼地斯有沒有說謊？這個悖論最簡單的形式是：
１－２ “我在說謊”
如果他在說謊，那麼“我在說謊”就是一個謊，因此他說的是實話；但是如果這是實話，他又在說謊。矛盾不可避免。它的一個翻版：
１－３ “這句話是錯的”
這類悖論的一個標準形式是：如果事件Ａ發生，則推導出非Ａ，非Ａ發生則推導出Ａ，這是一個自相矛盾的無限邏輯迴圈。拓撲學中的單面體是一個形像的表達。 哲學家羅素曾經認真地思考過這個悖論，並試圖找到解決的辦法。他在《我的哲學的發展》第七章《數學原理》里說道：“自亞里士多德以來，無論哪一個學派的邏輯學家，從他們所公認的前提中似乎都可以推出一些矛盾來。這表明有些東西是有毛病的，但是指不出糾正的方法是什麼。在１９０３年的春季，其中一種矛盾的發現把我正在享受的那種邏輯蜜月打斷了。” 他說：謊言者悖論最簡單地勾畫出了他發現的那個矛盾：“那個說謊的人說：‘不論我說什麼都是假的’。事實上，這就是他所說的一句話，但是這句話是指他所說的話的總體。只是把這句話包括在那個總體之中的時候才產生一個悖論。” （同上） 羅素試圖用命題分層的辦法來解決：“第一級命題我們可以說就是不涉及命題總體的那些命題；第二級命題就是涉及第一級命題的總體的那些命題；其餘仿此，以至無窮。”但是這一方法並沒有取得成效。“１９０３年和１９０４年這一整個時期，我差不多完全是致力於這一件事，但是毫不成功。”（同上） 《數學原理》嘗試整個純粹的數學是在純邏輯的前提下推導出來的，並且使用邏輯術語說明概念，迴避自然語言的歧意。但是他在書的序言里稱這是：“發表一本包含那麼許多未曾解決的爭論的書。”可見，從數學基礎的邏輯上徹底地解決這個悖論並不容易。 接下來他指出，在一切邏輯的悖論里都有一種“反身的自指”，就是說，“它包含講那個總體的某種東西，而這種東西又是總體中的一份子。”這一觀點比較容易理解，如果這個悖論是克利特以為的什麼人說的，悖論就會自動消除。但是在集合論里，問題並不這麼簡單。
１－４ 理髮師悖論
在薩維爾村，理髮師掛出一塊招牌：“我只給村裡所有那些不給自己理髮的人理髮。”有人問他：“你給不給自己理髮？”理髮師頓時無言以對。 這是一個矛盾推理：如果理髮師不給自己理髮，他就屬於招牌上的那一類人。有言在先，他應該給自己理髮。 反之，如果這個理髮師給他自己理髮，根據招牌所言，他只給村中不給自己理髮的人理髮，他不能給自己理髮。 因此，無論這個理髮師怎麼回答，都不能排除內在的矛盾。這個悖論是羅素在一九○二年提出來的，所以又叫“羅素悖論”。這是集合論悖論的通俗的、有故事情節的表述。顯然，這裡也存在著一個不可排除的“自指”問題。
１－５ 集合論悖論
“Ｒ是所有不包含自身的集合的集合。” 人們同樣會問：“Ｒ包含不包含Ｒ自身？”如果不包含，由Ｒ的定義，Ｒ應屬於Ｒ。如果Ｒ包含自身的話，Ｒ又不屬於Ｒ。 繼羅素的集合論悖論發現了數學基礎有問題以後，１９３１年歌德爾（Kurt Godel ，１９０６－１９７８，捷克人）提出了一個“不完全定理”，打破了十九世紀末數學家“所有的數學體系都可以由邏輯推導出來”的理想。這個定理指出：任何公設系統都不是完備的，其中必然存在著既不能被肯定也不能被否定的命題。例如，歐氏幾何中的“平行線公理”，對它的否定產生了幾種非歐幾何；羅素悖論也表明集合論公理體系不完備。
１－６ 書目悖論
一個圖書館編纂了一本書名詞典，它列出這個圖書館里所有不列出自己書名的書。那麼它列不列出自己的書名？ 這個悖論與理髮師悖論基本一致。
１－７ 蘇格拉底悖論
有“西方孔子”之稱的雅典人蘇格拉底（Ｓｏｃｒａｔｅｓ，公元前４７０－前３９９）是古希臘的大哲學家，曾經與普洛特哥拉斯、哥吉斯等著名詭辯家相對。他建立 “定義”以對付詭辯派混淆的修辭，從而勘落了百家的雜說。但是他的道德觀念不為希臘人所容，竟在七十歲的時候被當作詭辯雜說的代表。在普洛特哥拉斯被驅逐、書被焚十二年以後，蘇格拉底也被處以死刑，但是他的學說得到了柏拉圖和亞裡斯多德的繼承。 蘇格拉底有一句名言：“我只知道一件事，那就是什麼都不知道。” 這是一個悖論，我們無法從這句話中推論出蘇格拉底是否對這件事本身也不知道。古代中國也有一個類似的例子： １－７ “言盡悖” 這是《莊子·齊物論》里莊子說的。後期墨家反駁道：如果“言盡悖”，莊子的這個言難道就不悖嗎？我們常說： １－７ “世界上沒有絕對的真理” 我們不知道這句話本身是不是“絕對的真理”。
１－８ “荒謬的真實”
有字典給悖論下定義，說它是“荒謬的真實”，而這種矛盾修飾本身也是一種“壓縮的悖論”。悖論（ｐａｒａｄｏｘ）來自希臘語“para＋dokein”，意思是“多想一想”。 這些例子都說明，在邏輯上它們都無法擺脫概念自指所帶來的惡性迴圈。有沒有進一步的解決辦法？在下麵一節的最後一部份還將繼續探討。 （二）引進無限帶來的悖論 《墨子·經說下》中有一句話：“南方有窮，則可盡；無窮，則不可盡。”如果在有限中引進無限，就可能引起悖論。
２－１ 阿基裡斯悖論
稍晚於畢達哥拉斯的古希臘數學家芝諾（Zeno of Elea），曾經提出過一些著名的悖論，對以後數學、物理概念產生了重要影響，阿基裡斯悖論是其中的一個。 阿基裡斯（Ａｃｈｉｌｌｅｓ）是希臘神話中善跑的英雄。芝諾講：阿基裡斯在賽跑中不可能追上起步稍微領先於他的烏龜，因為當他要到達烏龜出發的那一點，烏龜又向前爬動了。阿基裡斯和烏龜的距離可以無限地縮小，但永遠追不上烏龜。 方勵之先生曾經用物理語言描述過這個問題：在阿基裡斯悖論中使用了兩種不同的時間度量。一般度量方法是：假設阿基裡斯與烏龜在開始時的距離為Ｓ，速度分別為Ｖ１和Ｖ２。當時間Ｔ＝Ｓ／（Ｖ１－Ｖ２）時，阿基裡斯就趕上了烏龜。 但是芝諾的測量方法不同：阿基裡斯將逐次到達烏龜在前一次的出發點，這個時間為Ｔ＇。對於任何Ｔ＇，可能無限縮短，但阿基裡斯永遠在烏龜的後面。關鍵是這個Ｔ＇無法度量Ｔ＝Ｓ／（Ｖ１－Ｖ２）以後的時間。
２－２ 二分法悖論
這也是芝諾提出的一個悖論：當一個物體行進一段距離到達Ｄ，它必須首先到達距離Ｄ的二分之一，然後是四分之一、八分之一、十六分之一、以至可以無窮地劃分下去。因此，這個物體永遠也到達不了Ｄ。 這些結論在實踐中不存在，但是在邏輯上無可挑剔。 芝諾甚至認為：“不可能有從一地到另一地的運動，因為如果有這樣的運動，就會有‘完善的無限’，而這是不可能的。”如果阿基裡斯事實上在Ｔ時追上了烏龜，那麼，“這是一種不合邏輯的現象，因而決不是真理，而僅僅是一種欺騙”。這就是說感官是不可靠的，沒有邏輯可靠。 他認為：“窮盡無限是絕對不可能的”。根據這個運動理論，芝諾還提出了一個類似的運動佯謬：
２－３ “飛矢不動”
在芝諾看來，由於飛箭在其飛行的每個瞬間都有一個瞬時的位置，它在這個位置上和不動沒有什麼區別。那麼，無限個靜止位置的總和就等於運動了嗎？或者無限重覆的靜止就是運動？中國古代也有類似的說法，如：
２－４ “飛鳥之景，未嘗動也”
這是中國名家惠施的命題，與“飛矢不動”同工異曲。這就是不可抗拒的推理和不可迴避的實事相衝突。 德國哲學家尼采在《希臘悲劇時代的哲學》里有一章《可疑的悖論》，稱芝諾的悖論為“否定感官的悖論”。儘管阿基裡斯在賽跑中追上起步領先的烏龜完全合乎事實，但為什麼“不合邏輯”？因為芝諾運用了“無限”這個概念，這是一種邏輯上的假設，而現實世界里是不可能有無限者存在的，這就出現了假設與現實的矛盾。 尼采說道：在這兩個悖論里，“無限”被利用來作為化解現實的硝酸。如果無限是決不可能成為完善的，靜止決不可能變為運動，那麼，真相是箭完全沒有飛動，它完全沒有移位，沒有脫離靜止狀態，時間並沒有流逝。 換句話講，在這個所謂的、終究只是冒牌的現實中，既沒有時間、空間，也沒有運動。最後，連箭本身也是一個虛象，因為它來自多樣性，來自由感官喚起的非一的幻象。下麵是尼采的分析： 假定箭擁有一種存在，那麼，它就是不動的、非時間的、非造而有的、固定的、永恆的。這是一個荒謬的觀念！ 假定運動是真正的實在，那麼，就不存在靜止。因而，箭沒有位置、沒有空間。又是一個荒謬的觀點！ 假定時間是實在的，那麼，它就不可能被無限地分割。箭飛行所需要的時間必定由一個有限數目的瞬間組成，其中每個瞬間都必定是一個原子。仍然是一個荒謬的觀念！ 尼采得出這樣的結論：我們的一切觀念，只要其經驗所與的、汲自這個直觀世界的內容被當作“永恆真理”，就會陷入矛盾。如果有絕對運動，就不會有空間；如果有絕對空間，就不會有運動；如果有絕對存在，就不會有多樣性；如果有絕對的多樣性，就不會有統一性。 事實上，這兩個悖論中提到的這個“動與不動”的對立統一，今天都已經得到了完美的解決，這就是極限理論的誕生。牛頓在運動學研究時，初創微積分，但由於沒有鞏固的理論基礎，出現了歷史上的“第二次數學危機”。十九世紀初，法國科學家以柯西為首建立了極限理論，後來又經過德國數學家維爾斯特拉斯進一步的嚴格化，使極限理論成為微積分的堅定基礎，運動問題也得到了合理的解釋。 可以想見，在微積分和極限理論發明或被接受以前，人們很難解釋這一運動佯謬。感官不同於思維，當希臘人用概念來判決現實的時候，如果邏輯與現實發生矛盾，芝諾指責感官為“欺騙”。當思維找不到合理解釋的時候，直觀的形式、象徵或比喻都無濟於事。尼采的分析雖然詳細、精辟，但他無法把它們綜合起來。
２－５ “一尺之捶，日取其半，萬世不竭”
這是《莊子·天下》中惠施的一句名言。二千多年前中國古人同樣運用了無限的概念。 戰國名家宋國人惠施（約公元前３７０－前３１０）曾任梁國的宰相，論辯奇才，是莊子的朋友，和公孫龍併列為名家的代表人物。他的著作多已亡佚，只能從其他諸家的論述中看到他的言行片段。 惠施的學說強調萬物的共相，因而事物之間的差異只是一種相對的概念，現存與惠施有關的奇怪命題，例如，“山與澤平”、“卵有毛”、“雞三足”、“犬可以為牛”、“火不熱”、“矩不方”、“白狗黑”、“孤駒未嘗有母”等，都可以說是悖論，但是大部份沒有留下具體的爭辯過程。惠施的悖論在西方也很有影響。 毛澤東從辯證法的角度基本接受惠施無限可分的觀點。一九***年八月十八日，他同哲學工作者談話時說：“列寧講過，凡事可分。舉原子為例，不但原子可分，電子也可分。”又說：“電子本身到現在還沒有分裂，總有一天能分裂的。‘一尺之捶，日取其半，萬世不竭’，這是個真理。不信，就試試看。如果有竭就沒有科學了。” 有人註意到，毛澤東十分偏愛這句話，如五十年代中期對家錢三強，一九***年八月同周培源、於光遠，一九七三年、一九七四年接見楊振寧、李政道，等等，都提到這句話。
２－６ “點一樣多？”
“１釐米線段內的點與太平洋面上的點一樣多” 多少哲學家、數學家都唯恐陷入悖論而退避三舍。二十三歲獲博士學位的德國數學家康托爾（１８４５－１９１８）六年以後向無窮宣戰。他成功地證明瞭：一條直線上的點能夠和一個平面上的點一一對應，也能和空間中的點一一對應。由於無限，１釐米長的線段內的點，與太平洋面上的點，以及整個地球內部的點都“一樣多”。 然而，康托爾的“無窮集合”與傳統的數學觀念發生衝突，遭到謾罵。直到一八九七年第一次國際數學家會議，他的成果才得到承認，幾乎全部數學都以集合論為基礎。羅素稱贊他的工作“可能是這個時代所能誇耀的最巨大的工作。” 同時，集合論中也出現了一些自相矛盾的現象，尤其是羅素的理髮師悖論，以極為簡明的形式震撼了數學的基礎，這就是“第三次數學危機”。此後，數學家們進行了不懈地探討。 例如，一九九六年英國劍橋大學出版社出版了亨迪卡的《數學原理的重新考察》，這本書以羅素的《數學原理》（１９０３）為藍本的，試圖完善邏輯和數學基礎。它主要闡述了亨迪卡和桑朵新創的ＩＦ（Independence-Friendly First-Order Logic）邏輯及其可能產生的影響。它挑戰了許多公認的觀念，如公理集合論作為數學理論的適當框架，對說謊者悖論也作了進一步的探討。它是否將引 起一場邏輯和數學基礎的革命？我們還將拭目以待. 這是第二部份：由一因多果片面推理引致的悖論和由名實相悖引起的悖 論。 （三）由一因多果片面推理引致的悖論 這種形式的悖論類似於詭辯。詭辯在現實中是令人厭惡的，但是在邏輯學的探討中有相當的位置。孔多塞說：“希臘人濫用日常語言的各種弊端，玩弄字詞的意義、以便在可悲的模棱兩可之中困攪人類的精神。可是，這種詭辯卻也賦予了人類的精神以一種精緻性，同時它又耗盡了他們的力量來反對虛幻的難題。” 古希臘哲學流派中曾經有一個詭辯學派，又叫智者派。他們對自然哲學持懷疑態度，認為世界上沒有絕對不變的真理。前面提到的普洛道格拉斯（Ｐｒｏｔａｇｒａｓ，約公元前４８５－前４１０）是其著名的代表人物，他認為：“ 人是衡量萬物的尺度。”雅典政府因其主張無神論，予以驅逐並焚燒了他的書籍。 從蘇格拉底到亞裡斯多德都反對詭辯學說，黑格爾說，蘇格拉底常運用他的辯證法去攻擊詭辯學派，尤其是普洛道格拉斯。儘管這些智者的理論多已失傳，我們仍然可以從亞裡斯多德的《形而上學》（吳壽彭譯）中瞭解一些當時的論辯。 根據亞裡斯多德的記載，柏拉圖（Ｐｌａｔｏ，公元前４２７－前３４７）曾說：詭辯是專討論“無事物”的，因為詭辯派的論題老是糾纏於事物的屬性。例如，“文明的”與“讀書的”為同抑異，“文明的哥裡斯可”與“哥裡斯可” 是否相同？以及每一事物並不常是而今是者，是否便當成是，由茲而引致（悖解） 的結論（同上）。 斥形式邏輯而提倡辯證法的黑格爾（１７７０－１８３１）說柏拉圖發明瞭辯證法。“柏拉圖運用辯證法以指出一切固定的知性規定的有限性。他從一推演出多，但仍然指出多之所以為多，復只能規定為一。”（《小邏輯》） 亞裡斯多德認為：凡現存的事物其生成與消失必有一個過程，而屬性事物則不然。然而，我們還得儘可能地追蹤偶然屬性之本質與其來由；也許因此可得明白何以不能成立有關屬性的學術（《形而上學》捲六章二）。在他看來，詭辯理論就是“有關屬性的學術”而不是“屬性之本質與其來由”。 詭辯完善的是學術體系，而不是知識。孔多塞在《人類精神進步史表綱要人類精神進步史表綱要》（何兆武、何冰譯）的《第四個時代》中說：然而希臘的智者和希臘的學人， “並沒有發現真理，反而是在鑄造各種體系；他們忽視了對事實的觀察，為的是自己好投身於自己的想象之中；他們既然無法把自己的意見置於證明的基礎之上，便力圖以詭辯來維護它們。” 可見，詭辯學派的致命點就是忽略“本質”而糾纏“屬性”，從現存的事物中推論出悖解的結論來，而不詳細考察事物的真實，在實踐的基礎上加以證明。對付詭辯最好的方式是運用辯證法併在實踐中加以考證。
３－１ “什麼是詭辯？”
有學生問他的希臘老師：“什麼是詭辯？”老師反問到：“有甲乙兩人，甲很乾凈，乙很臟。如果請他們洗澡，他們中間誰會洗？” 這裡有四種可能，一是甲洗，因為他有愛乾凈的習慣；二是乙洗，因為他需要；三是兩人都洗，一個是因為習慣，另一個是因為需要；四是兩人都沒洗，因為臟人沒有洗澡的習慣，乾凈人不需要洗。這四種可能彼此相悖，無論學生作出怎樣的回答，老師都可以予以反駁，因為他不需要有一個客觀的標準，這就是詭辯。
３－２ “父在母先亡”
這是一個可以自圓其說的乩語。它也有四種解釋：一是“父在，母先亡”；二是“父在母之先亡”；三是如果父母健在，可以解釋為將來；四是即使父母都去世了，也可以解釋為“父親在的時候，母親就去世了。”或者是“父親在母親以前就去世了。”真是左右逢源。 從邏輯順序上看，上面這兩個例子正好是反其道而用。無論正命題還是反命題都可以根據所謂的客觀理由進行詭辯，形成自圓其說或詰難。所以葛拉西安在《智慧書：永恆的處世經典》中說：“詭辯是一種欺騙，乍一聽，它蠻有道理，並因其刺激、新奇而令人心驚，但隨後，當其虛飾之偽裝被揭穿，就會自取其辱。”
３－３ 鄧析贖屍詭論
《呂氏春秋》記載了這樣一個故事：洧水發了大水，淹死了鄭國富戶家的一員。屍體被別人打撈起來，富戶的家人要求贖回。然而撈到屍體的人要價太高，富戶的家人不願接受，他們找鄧析出主意。鄧析說：“不用著急，除你之外，他還會賣給誰？”撈到屍體的人等得急了，也去找鄧析要主意。鄧析卻回答：“不要著急，他不從你這裡買，還能從誰那裡買？” 鄧析生在春秋末年，與老子和孔子基本同時，是戰國名家的鼻祖，著名的訟師，他的著作已經失傳。 同一個事實，鄧析卻推出了兩個相反的結論，每一個聽起來都合乎邏輯，但合在一起就荒謬了。鄧析是不是希望他們相持一段時間後，雙方都可以找到一個可以接受的價格平衡點？我們只能猜測。 後來，鄧析被殺，就是因為子產認為他“以非為是，以是為非，是非無度，而可與不可日變”。可見，鄧析是一個沒有原則的人。身為訟師，鄧析善於辭辯，而不跳出詭論尋找客觀的解決辦法。嚴謹的邏輯推理固然具有說服性，但最終還是要回到現實中來。
３－４ 公孫龍論秦趙之約
《呂氏春秋》介紹過公孫龍的一個詭論：秦國與趙國訂立條約：今後，秦國想做的，趙國幫助；趙國想做的，秦國幫助。不久，秦國興師攻打魏國，趙國打算援救。秦王不高興，差人對趙王說：秦國想做的，趙國幫助；趙國想做的，秦國幫助。現在秦國要打魏國，而趙國援救他們，這是違約。趙王把這個消息轉告給平原君，平原君向公孫龍請教。公孫龍回答：“趙王也可以派人對秦王說：趙國打算援救魏國，現在秦國卻不幫助趙國，這也不合乎條約。” 不管這個寓言的真實性如何，他的推理無懈可擊。公孫龍對於秦趙之約的回應，與鄧析贖屍詭論一脈相承。但公孫龍是站在弱小的趙魏這一邊反對強秦的。 ３－５ “彼亦一是非，此亦一是非。” 這是《莊子·齊物論》中的一句話，以強調事物的相對性而著稱，比如，人睡在潮濕的地方會腰疼，但泥鰍會腰疼嗎？人爬到高樹上會膽怯，猿猴會膽怯嗎？於是，他的結論是：“彼亦一是非，此亦一是非。”各有各的相對標準。 《團結報》曾經刊登過一篇一勺的《名師出高徒》。說康白情１９１９年前在北京大學選修馬敘倫先生的“老莊哲學”，沒有一次不遲到。有一次，馬敘倫責問康白情為什麼姍姍來遲。康白情回答：“住得太遠。”馬先生不以為然，反問道：從你的住處走到這裡只要三、五分鐘，怎麼叫太遠！康白情也不示弱，說：先生講莊子，莊子說：“彼亦一是非，此亦一是非”。先生不以為遠，而我以為遠。馬敘倫一時無話可說。
３－６ “我沒有受賄”
一個商人被控受賄。他宣稱：“我沒有受賄。” 顯然，這個商人既是觀察者也是被觀察者。我們不知道他是以觀察者的身份進行辯護，還是以被觀察者的身份進行詭辯。這兩種推論都合乎邏輯，如果沒有別的證據，就不能判決（引自“Ｗｅｂ Ｄｉｃｔｉｏｎａｒｙ ｏｆ Ｃｙｂｅｒｎｅｔｉｃｓ ａｎｄ Ｓｙｓｔｅｍｓ”）。
３－７ 囚犯詭論
甲乙兩人偷東西，人贓俱物。他們被分開審問，可能的懲罰如下： 甲否認乙否認：甲、乙各一年監禁 甲否認乙承認：乙釋放、甲五年監禁 甲承認乙否認：甲釋放、乙五年監禁 甲承認乙承認：甲、乙各三年監禁 甲乙二囚犯都會想到對自己最有利的去做：以甲而言，甲若承認，最多三年監禁，如果乙也承認；如果乙否認，甲馬上獲得自由。這個結果並不壞。這是博弈，乙也會同樣這麼想。如果甲改變主意，將冒監禁五年，而乙卻獲得自由；反之也一樣。如果雙方都改變主意，各監禁一年，也可以達到“共利”。 但是，這一決策的過程可能是無限的理性推理：假如我選擇“共利”策略，我必定相信對方也將選擇“共利”策略；假如我選擇“私利”策略，對方也會選擇“私利” 策略予以防範。這個“推己及人，推人及己”的過程可以無限地推下去，他的極限狀態在博弈論里叫做“共用知識（ＣｏｍｍｏｎＫｎｏｗｌｅｄｇｅ）”，但是沒有人可以達到這個狀態，囚犯也擺脫不了這個悖論。 （四）由名實相悖引起的悖論 古代中國有不少經典的悖論都來自名家。名家是戰國時期的一個學派，他們的學說在於循名責實，但結果也往往被認為是流於詭辯。名家始於鄧析，後有惠施、公孫龍等大家。 在古希臘，亞裡斯多德認為：辯證家與詭辯派穿著與哲學家相同的服裝，但不是一回事。對於詭辯術，智慧只是貌似而已，辯證家則將一切事物囊括於他們的辯證法中，而“實是”也是他們所共有的一個論題；因而辯證法也包含了原屬於哲學的這些主題。詭辯術和辯證法談論與哲學上同類的事物，但哲學畢竟異於辯證法者由於才調不同，哲學畢竟異於詭辯術者則由學術生活的目的不同。哲學在切求真知時，辯證法專務批評；至於詭辯術儘管貌似哲學，終非哲學（《形而上學》捲四章一）。 馮友蘭先生在《中國哲學簡史》第八章《名家》里有專門的討論。他認為，中國的“名家”不完全等同於西方的詭辯家、邏輯家或辯證家。如果說古希臘的辯證家和詭辯派專攻屬性而不是本質的話，那麼名家則在於研究“名”與“實”的關係，而且重“名”甚於重“實”是他們的精神實質。這裡的 “名實”就是名目與實際。馮友蘭認為中國的名家應該翻譯為“Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｎａｍｅ”以示區別，我在《不列顛百科全書》上看到的正是這樣翻譯的。 名與實關係的爭論對中國哲學的影響巨大，如“孔子有正名、老子有無名、墨子有取實予名的爭辯”。除名家以為，荀子對古邏輯學的貢獻也很大。 公孫龍的辯論執名為實，“專決於名”而不落實到經驗的事物，看看他的雄辯，就會發現一些奇怪的問題。《莊子·秋水篇》提到，公孫龍曾經自誇：“困百家之知，窮眾口之辯”。
４－１ “白馬非馬”
戰國時趙國人公孫龍曾經著有《公孫龍子》一書，平原君禮遇甚厚。其“白馬非馬”和“堅白異同之辯”都是他的著名命題。 據說，公孫龍有一次騎馬過關，把關的人對他說：“法令規定馬不許過。”公孫龍回答說：“我騎的是白馬，白馬不是馬，這可是兩回事啊。”公孫龍的“白馬”有沒有過關，我們不得而知。從常人的觀點來看，守關的兵士八成認為公孫龍是在詭辯。這也是一個邏輯上“莫能與辯”，現實中不能成立的例子。 馮友蘭認為《公孫龍子》里的《白馬論》對“白馬非馬”進行了三點論證： 一是強調“馬”、“白”、“白馬”的內涵不同。“馬”的內涵是一種動物，“白”的內涵是一種顏色，“白馬”的內涵是一種動物加一種顏色。三者內涵各不相同，所以白馬非馬。 二是強調“馬”、“白馬”的外延的不同。“馬”的外延包括一切馬，不管其顏色的區別；“白馬”的外延只包括白馬，有顏色區別。外延不同，所以白馬非馬。 三是強調“馬”這個共相與“白馬”這個共相的不同。馬的共相，是一切馬的本質屬性，它不包涵顏色，僅只是“馬作為馬”。共性不同，“馬作為馬”與“白馬作為白馬”不同。所以白馬非馬。 前面我們說到，辯證法是在對付詭辯論的過程中發展起來的。黑格爾在《小邏輯》中說：“辯證法切不可與單純的詭辯相混淆。詭辯的本質在於孤立起來看事物，把本身片面的、抽象的規定，認為是可靠的。”（《邏輯學概念的進一步規定和部門劃分》） 從辯證法的角度看，“白馬非馬”割斷了個別和一般的關係。白馬屬於個性，特指白顏色的馬；馬屬於一般，具有各種顏色馬的共性。公孫龍區分了它們之間的差別，但是又絕對化了這種差別。白馬儘管顏色上不同於其他的馬，如公孫龍提到的黃馬、黑馬，但仍然是馬。作為共性的“馬”寓於作為個性的“白馬”之中。“馬”作為一般的範疇，包括各種顏色的馬，公孫龍的白馬自然也不例外。
４－２ “殺盜非殺人也”
這個命題與“白馬非馬”何其相似，儘管論證的方法和目的不同。荀子把墨辯“殺盜非殺人也”歸入“惑於用名以亂名”的詭辯。荀子認為，在外延方面“人”的範疇包含了“盜”的範疇。所以，說“盜”的時候，就意味著說他同時也是“人”；殺“盜”也是殺人。
４－３ 堅白石論
堅白石論指一塊“堅白石”，它有堅、白、石三個要素組成。公孫龍主張“堅”為石頭的特性，“白”為石頭的顏色。眼睛看到的這塊石頭是白色的，手觸摸到的這塊石頭才知到它是堅硬的；白色由視覺而得，堅硬由觸覺而來，堅與白不能同時被認知。因此，公孫龍認為就一塊堅白石而言，人不可能同時認識到其中三個組成要素：堅、白、石，而只能是堅石或白石。 這是從感知的角度來證明堅、白彼此分離，是分析方法的早期運用。“離堅白之辯”是古代中國的一個著名命題，習慣上人們並不接受，但是對於名家自身來講，如果沒有精密的思考，也不可能提出這些深刻的問題。 儘管名家在邏輯上的辯論天下無敵手，但是遭到諸家反對。莊子說他們：“飾人之心，易人之意，能勝人之口，不能服人之心，辯者之囿也。”《荀子》也認為：“雖辯，君子不聽。”這的確是名家的弔詭。 中國古有名辯邏輯，唐代傳入印度因明，近代又引進了西方邏輯，成為世界三大邏輯的匯合點。黑格爾在《小邏輯》里說：“一說到詭辯我們總以為這隻是一種歪曲正義和真理，從一種謬妄的觀點去表述事物的思想方式。但這並不是詭辯的直接的傾向。詭辯派原來的觀點不是別的，只是一種‘合理化論辯’的觀點。”這是針對古希臘人說的，對中國的名家來講，同樣適合。
４－４ 怎麼翻譯？
英語里有一個Ｂｕｃｈｏｗｓｋｉ悖論：“Ｍｙ ｙｏｕｎｇｅｒ ｂｒｏｔｈｅｒ ｉｓ ｏｌｄｅｒ ｔｈａｎ Ｉ ａｍ.” 單純地看這句話是一個悖論，實際上這個“我”有兩個哥哥。小哥哥（ｙｏｕｎｇｅｒ ｂｒｏｔｈｅｒ）自然比他的年齡大。但是ｙｏｕｎｇｅｒｂｒｏｔｈｅｒ在英語里又有“弟弟”的意思，硬譯過來，如果是：“我弟弟的年齡比我大。”為常識錯誤；如果是：“我的小哥哥的年齡比我大。”構不成悖論。 英語的ｂｒｏｔｈｅｒ與漢語里的“兄弟”並不完全對應。在這個例子里，漢語對“兄弟”作了進一步的劃分，減少了歧意。 這是第三部分：由前提不自洽導致的悖論和由權變遭遇的悖論。 （五）由前提不自洽導致的悖論 這裡我們將看到，前提不自洽，結論就無法自圓其說，甚至荒謬或沒有結論。
５－１“羅素是教皇”
從單純的邏輯上來講，荒謬的假設可以推論出任何荒謬的結論，哪怕推理過程無懈可擊。有人曾經讓羅素證明從“２＋２＝５”推出“羅素是教皇”。羅素證明 如下： 由於２＋２＝５，等式的兩邊同時減去２， 得出２＝３；兩邊同時再減去１， 得出１＝２；兩邊移位， 得出２＝１。 教皇與羅素是兩個人，既然２＝１，教皇和羅素就是１個人，所以“羅素就是教皇”。 這個荒謬的結論，就是由一個荒謬的假設引發出來的。
５－２“亞裡斯多德是類概念”
這是嚴格按照三段論推導出來的結果。請看： （１）亞裡斯多德是哲學家， （２）哲學家是類概念， （３）所以，亞裡斯多德是類概念。 亞裡斯多德（Ａｒｉｓｔｏｔｌｅ，公元前３８４－前３２２）是希臘大哲學家和天文學家，曾就學於柏拉圖，繼承蘇格拉底以來的希臘哲學而自成體系，在西 方的影響最大。他系統總結了三段論法原理，奠定了邏輯思維的基礎。 上面這個結論恐怕連亞裡斯多德本人也不會認同。因為其中蘊含了一個“語義悖論”。因為語句（１）中的哲學家和語句（２）中的“哲學家”不在一個層次上，前者是對象概念，後者是元概念。兩個前提內涵不一致，結論就荒謬了。從根本上來講這不是一個語言或語法問題，而是一種邏輯錯誤。自塔爾斯基在３０年代提出“語言層次論”來，就一直受到人們的關註。
５－３自相矛盾
這個例子正相反，是一個因為前提不相容而推不出結論的經典例子： 《韓非子·勢難》介紹了這個預言：有一個同時賣矛和盾的人。他先誇他的盾最堅固，無論什麼東西都戳不破；接著又誇他的矛最銳利，無論什麼東西都能刺透。旁人問他：如果用他的矛來刺他的盾會有什麼結果，他回答不上來，因為兩者相互抵觸。這是一個既不可以同時為真，也不可以同時為假的命題。前提出現矛盾，也就無法推出結論。
５－４紙牌悖論
紙牌悖論就是紙牌的一面寫著：“紙牌反面的句子是對的。”而另一面卻寫著：“紙牌反面的句子是錯的。”這是由英國數學家Ｊｏｕｒｄａｉｎ提出來的。 我們同樣推不出結果來。它最簡單的形式是：
５－５“悖論元”
下麵這句話是對的， 上面這句話是錯的。 這也是一個有名的悖論，叫喬丹真值（Ｊｏｕｒｄａｉｎ Ｔｒｕｔｈ－Ｖａｌｕｅ）悖論。以上這三個例子基本屬於一個類型。
５－６“先有雞，還是先有蛋？”
這個互為因果的迴圈推理本身無法自我解脫，需要實際的考證，如考古學和生物學的研究成果等，才能打破這一迴圈。 它裡面也隱含著一個不相容的前提假設：“雞是由蛋孵化出來的，蛋又是由雞生出來的。”單獨來看都符合日常觀察，但合在一起卻是一對不自洽的假設。
５－７ “上帝和石頭”
“如果說上帝是萬能的，他能否創造一塊他舉不起來的大石頭？” 這是一個流傳很廣的悖論。如果說能，上帝遇到一塊“他舉不起來的大石頭”，說明他不是萬能；如果說不能，同樣說明他不是萬能。這是用結論來責難前提。 這個“全能者悖論”的另一種表達方法是：“全能的創造者可以創造出比他更了不起的事物嗎？”
５－８“你會殺掉我”
這個故事有幾個版本。大意是說：一夥強盜抓住了一個商人，強盜頭目對商人說：“你說我會不會殺掉你，如果說對了，我就把你放了；如果說錯了，我就殺掉 你。”商人一想，說：“你會殺掉我。”於是強盜把他放了。 推理一下：如果強盜把商人殺了，他的話無疑是對的，應該放人；如果放人，商人的話就是錯的，應該殺掉，又回到前面的推理，這是一個悖論。聰明的商人找到的答案使強盜的前提互不相容。
５－９“你會吃掉我的孩子”
這個例子與上面的例子邏輯同構。 一條鱷魚搶走了一個小孩，它對孩子的母親說：“我會不會吃掉你的小孩？答對了，孩子還給你；答錯了，我就吃了他。”我們已經知道了母親的答案：“你會吃掉我的孩子。”
５－１０兩小兒辯日
這是《列子》里的一則預言：孔子遇到兩個小孩在爭論，一個說：“日出時，太陽距離我們近，中午距離我們遠。因為日出時太陽大得像車輪，中午小得像盤子。這不正是近大遠小嗎？”另一個卻說：“日出時，太陽距離我們遠，中午距離我們近。因為日出時我們不覺得熱，中午卻非常熱。這不是近熱遠涼嗎？”孔子不能答。 這是今天的一個科學常識問題，但兩千多年前的人並不知道。從邏輯上看，這裡有“近大遠小”、“近熱遠涼”兩個測度的標準。在回答問題以前，應該搞清楚 哪個標準更準確，或者都不准確。
５－１１愛瓦梯爾應不應該付學費？
傳說古希臘人愛瓦梯爾（Ｅｕｌａｔｈｌｕｓ）向普洛太哥拉斯學習辯術（另有一說是學習法律）。他們的約定是：愛瓦梯爾先付一半學費，另一半學費等學成 後在第一場辯護勝訴時再付，如果敗訴，則學費不必再交。 但是愛瓦梯爾畢業以後，沒有擔任辯護工作，不打算交另一半學費。 普洛太哥拉斯準備告他，說：“如果我勝訴了，法官會判你付我學費；如果我敗訴，根據約定你還是要付我學費。總之要付。”。愛瓦梯爾則說：“如果我勝訴，法官也會判我不付學費；如果我敗訴，按照約定我也不必付另一半的學費。總之不付。”（見王九逵《邏輯與數學思維》） 這個問題反過來看，邏輯上也同樣成立。如果愛瓦梯爾先說：“如果你告我，我就可以不付學費了。”普洛太哥拉斯也可以用同樣的方式來反駁。如此爭論下去不可能有結果。 這裡的問題就是他們雙方都預設“約定”和“判決”可以同時而且等效地來解 決他們的糾紛，這是他們共同的前提。從邏輯上化解它們的辦法就是選擇其中的一 個進行最終裁決。
５－１２梵學者的“預言”
和上面的例子完全類似，這是一個梵學者（印度的預言家）的女兒用悖論來為難她的父親的故事。 女兒在紙上寫了一行字壓在水晶球的下麵。然後對父親說：紙上寫的可能發生，也可能不發生。如果你預言會發生就寫“是”，反之就寫“不”。 梵學者寫下他的預言“是”，女兒拿出水晶球下麵的紙，念到：“你將寫一個‘不’字。”學者錯了。實際上，他寫個“不”字，也會錯，因為預言已經發生了。 女兒的“不”有兩重含義，它一方面與字面上的“是”相反，另一方面與實際上的“不”相反，雙重標準。由於沒有事先界定，梵學者也可以反過來和他的女兒作無限的爭論。 （六）由權變遭遇的悖論
６－１阿雷斯（Ａｌｌａｉｓ）悖論
下麵兩個式代表你將獲得的收入，Ｘ是一個不定的量，你將選擇哪一個，Ｓ１還是Ｓ２？ （１）Ｓ１＝０·９Ｘ＋＄１００，０００ （２）Ｓ２＝０·８９Ｘ＋＄２５０，０００ 顯然，最好的選擇取決於Ｘ是多少。 當Ｘ＝＄１５，０００，０００，Ｓ１＝Ｓ２＝＄１３，６００，０００ 當Ｘ〉＄１５，０００，０００，Ｓ１〉Ｓ２ 當Ｘ〈＄１５，０００，０００，Ｓ１〈Ｓ２ 這個悖論對決策理論有較大影響。
６－２紐卡（Ｎｅｗｃｏｍｂｓ）悖論
這也是決策理論中的一個。有兩個盒子Ａ和Ｂ放在桌子上： Ａ是透明的，可以看見裡面有＄１，０００， Ｂ是不透明的，上面寫著或者是＄１，０００，０００，或者是０。 你可以在下麵的兩種選擇中，只能取一個（１）或（２）： （１）只選擇Ｂ （２）Ａ和Ｂ兩個都選 你會作出什麼選擇？ 有一個教授曾經作過一個實驗：他讓１０００個學生選，其中９９９個學生選擇了（１），只有１個學生選擇了（２）。而這９９９個學生一人只獲得＄１，０００，而那１個學生卻獲得了＄１，０００，０００。為什麼呢？因為這個教授事先已經作了預測，並作出這樣的安排： 如果選（２）Ｂ盒子里就不放任何一分錢， 如果選擇（１）Ｂ盒子里就放＄１，０００，０００。 而這個教授的預測只有千分之一的失誤。如果你已經知道了這個結果，重新再選，會選哪一項。註意，這一回，教授可能又作出了新的預測。
６－３谷“堆”的定義
如果１粒穀子落地不能形成谷堆，２粒穀子落地不能形成谷堆，３粒穀子落地也不能形成谷堆，依此類推，無論多少粒穀子落地都不能形成谷堆。 從真實的前提出發，用可以接受的推理，但結論則是明顯錯誤的。它說明定義“堆”缺少明確的邊界。它不同於三段論式的多前提推理，在一個前提的連續積累 中形成悖論。從沒有堆到有堆中間沒有一個明確的界限，解決它的辦法就是引進一個模糊的“類”。 這是連鎖（Ｓｏｒｉｔｅｓ）悖論中的一個例子，歸功於古希臘人Ｅｕｂｕｌｉｄｅｓ，後來的懷疑論者不承認它是知識。“ｓｏｒｏｓ”在希臘語里就是“堆”的意思。最初是一個游戲：你可以把１粒穀子說成是堆嗎？不能；你可以把２粒穀子說成是堆嗎？不能；你可以把３粒穀子說成是堆嗎？不能。但是你遲早會承認一個谷堆的存在，你從哪裡區分他們？ 它的邏輯結構： １粒穀子不是堆， 如果１粒穀子不是堆，那麼，２粒穀子也不是堆； 如果２粒穀子不是堆，那麼，３粒穀子也不是堆； …… 如果９９９９９粒穀子不是堆，那麼，１０００００粒穀子也不是堆； 因此，１０００００粒穀子不是堆。 按照這個結構，無堆與有堆、貧與富、小與大、少與多都曾是古希臘人爭論的 話題（見《不列顛百科全書》）。
６－４禿頭的定義
這也是連鎖悖論中的一例，和上面的游戲完全一樣。最早叫Ｆａｌａｋｒｏｓ謎： 你可以把只有１根頭髮的叫禿頭嗎？能；你可以把只有２根頭髮的叫禿頭嗎？能；你可以把只有３根頭髮的叫禿頭嗎？也能。但是你不會把有一萬根頭髮的人叫禿頭。你從哪裡區分他們？
６－４“一整袋穀子落地沒有響聲”
在古希臘，還流傳著這樣一個故事：如果１粒穀子落地沒有響聲，２粒穀子、３粒穀子落地也沒有響聲，類推下去，１整袋穀子落地也不會有響聲。 響聲是由振動引起的，１粒穀子落地可能引起的振動太小，人耳聽不到，但是用儀器卻可以測得出來。而一袋穀子落地引起的振動大，人耳自然就可以聽得到了。 應該註意，古希臘辯論家的用意不在於此，他們並不是真的要探討事實，而是試圖找到邏輯演繹與事實的差別。如果承認穀子落地從沒有響聲到有響聲是一個系列，那麼其間也會有一個變化的模糊區域。
６－５預料之外的絞刑時間
這個悖論在英語里叫“Ｐａｒａｄｏｘ ｏｆ ｔｈｅ ＵｎｅｘｐｅｃｔｅｄＨａｎｇｉｎｇ”；最早從口頭傳開是在本世紀四十年代。 一個囚犯在星期六被判刑。法官宣佈：“絞刑時間將在下一周七天中的某一天中午進行，但是具體哪一天行刑將在這一天的上午再通知你。”囚犯分析道：“我將不可能在下個星期六赴刑，這是最後一天。因為星期五下午我還活著，那麼我知道星期六中午我一定被處死。但是，但是這和法官的判決有矛盾。”根據同樣的推理，他認為下一個星期五、星期四、星期三、星期二、星期一、星期日。因此，法官的判決將無法執行。 這種連鎖悖論式的推理並不難理解，法官的判決可以在下個星期六以外的任何一天被執行，囚犯的預期落空。還有一個“預料之外的考試時間悖論”和這個悖論的結構完全一致。
６－６“卵有毛”
惠施曾經與一個辯者辯論過這個題目。辯者說雞蛋裡面有毛，惠施卻反對。 辯者說：“如果雞蛋里沒毛，那麼孵出來的小雞怎麼身上有毛？”惠施說：“雞蛋里只有蛋清和蛋黃，沒有毛。你什麼時候看見過雞蛋裡面有毛了？小雞身上的毛是小雞身上的毛，不是雞蛋里的毛。”但是辯者不能接受。 辯論雙方都以“眼見為實”做標準，從而忽視了從沒有毛到有毛的轉化過程。不知道生物學對此會作出什麼解釋，從方法上來講，他們沒有界定毛從無到有的界限，似乎都不接受“小雞身上的毛也可能是雞蛋里的毛”的模糊區域。
６－７寶塔從有到無
這是哲學中從量變到質變的一個例子。一個寶塔，如果從下麵抽走它的磚，一塊一塊地抽，這是量變。當到達一定的度時，寶塔倒塌了，發生了質變，說明寶塔沒有了。我們可以看到一准確的“度”。 但是現在從上面拿走它的磚，一塊一塊地抽，這也是量變。直到拿完，寶塔不存在了，發生了質變，但我們就不容易找到從量變到質變中間的一個準確的“度”了。
６－８孿生子佯謬
這是一個與相對論有關的悖論（Ｔｗｉｎ Ｐａｒａｄｏｘ）。 愛因斯坦的成就之一，就是引進了一個定律，用Ｃ表示恆定的真空光速，把它納入自然常數之列，作為不可達到的最高臨界速度。根據光速恆定，引出了相對論的兩個著名的“佯謬”，它們曾經被人嘲諷為相對論的“荒誕無稽”的結論。 “孿生兄弟佯謬”是指以快速運動為參考系的鐘，比靜止參考系中的鐘走得慢。根據這一結論，我們可以得出這樣的一個結果：一個乘飛船按接近光速的速度在太空旅行的人，當他返回地球的時候，就會比生活在地球上的孿生兄弟年輕。因為他的生物鐘，比留在地球上的人要慢。儘管目前的宇宙飛船還遠遠達不到接近光速的速度。 在１９０５年，愛因斯坦的狹義相對論確立以前，牛頓定律是速度遠遠小於光速條件下的定律，機械自然觀統馭著人們的空間想象，因此無法解釋這一現象。愛因斯坦關於時間相對論化的概念是嶄新的，它取締了牛頓“絕對時間”的概念，使“絕對運動”概念也失去了立足之地。
６－９“會變的尺”
這是相對論引出的另一個“佯謬”：一把快速運動著的尺子，它和靜止狀態相比，在運動方向上長度縮短。這個問題是從邁刻爾遜實驗結果提出來的，後來形成了洛侖茲的機械收縮假說。愛因斯坦認為，這種收縮可以用兩個參考系之間存在著的相對速度來解釋（見聶運偉編著的《相對論的搖籃：愛因斯坦傳》）。
６－１０夜空為什麼是暗的？
這是有名的奧伯斯（Ｏｌｂｅｒｓ，Ｈｅｉｎｒｉｃｈ Ｗｉｌｌｈｅｌｍ）悖論：如果空間無限延展，而且星體均勻分佈，我們的任何視線都應該碰到起碼一顆星球。那麼，天空不是應該一直都是明亮的嗎？這個結論顯然與事實不符。 這個問題早在１６１０年開普勒就註意到，直到１８２３年德國天文學家奧伯斯重新提出以後才廣泛引起關註。過去有很多的猜測，如宇宙只有有限的星體、星體的分佈不是均勻的、星體越遠可視光越少，遙遠的光還沒有到達地球等等。“大爆炸”理論出現以後，宇宙的年齡不是無限的，被人為是一個最重要的原因。從“大爆炸”開始算起，宇宙距今有一百到兩百億年的歷史。年輕的宇宙還沒有時間將光充滿夜空（《星期日電訊》１９９７年１０月５日）。
[編輯本段]後記
本文所記都是流傳很廣的常見悖論。隨著現代數學、邏輯學、物理學和天文學的快速發展，又有不少新的悖論大量涌現，人們在孜孜不倦地探索，預計他們的成果將極大地改變我們的思維觀念。 大家不要以為悖論是錯誤的，所以它的存在會讓數學往相反的方向走去。其實恰恰相反，它的存在會讓數學的基礎越來越堅固。一些悖論之所以會出現，並非惡意，是由於實際上它確實存在，也就是說數學上尚存在這個漏洞，比如說集合論里的“羅素悖論”，它的消除使得集合論更加健全！
