旅行商問題

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旅行商問題（Traveling Saleman Problem，TSP）

　　旅行商問題（Traveling Saleman Problem，TSP）是VRP的特例，由於Gaery^[1]已證明TSP問題是NP難題，因此，VRP也屬於NP難題。

　　旅行商問題（TSP）又譯為旅行推銷員問題、貨郎擔問題，簡稱為TSP問題，是最基本的路線問題，該問題是在尋求單一旅行者由起點出發，通過所有給定的需求點之後，最後再回到原點的最小路徑成本。最早的旅行商問題的數學規劃是由Dantzig（1959）等人提出^[2]。

　　TSP問題在物流中的描述是對應一個物流配送公司，欲將n個客戶的訂貨沿最短路線全部送到。如何確定最短路線。

　　TSP問題最簡單的求解方法是枚舉法。它的解是多維的、多局部極值的、趨於無窮大的複雜解的空間，搜索空間是n個點的所有排列的集合，大小為（n-1）。可以形象地把解空間看成是一個無窮大的丘陵地帶，各山峰或山谷的高度即是問題的極值。求解TSP，則是在此不能窮盡的丘陵地帶中攀登以達到山頂或谷底的過程。

　　旅行商問題字面上的理解是：有一個推銷員，要到n個城市推銷商品，他要找出一個包含所有n個城市的具有最短路程的環路。

　　TSP的歷史很久，最早的描述是1759年歐拉研究的騎士周游問題，即對於國際象棋棋盤中的64個方格，走訪64個方格一次且僅一次，並且最終返回到起始點。

　　TSP由美國RAND公司於1948年引入，該公司的聲譽以及線性規劃這一新方法的出現使得TSP成為一個知名且流行的問題。

　　旅行推銷員的問題，我們稱之為巡行（Tour），此種問題屬於NP-Complete的問題，所以旅行商問題大多集中在啟髮式解法。Bodin（1983）等人將旅行推銷員問題的啟髮式解法分成三種：

　　1、途程建構法（Tour Construction Procedures）

　　從距離矩陣中產生一個近似最佳解的途徑，有以下幾種解法：

　　1）最近鄰點法（Nearest Neighbor Procedure）：一開始以尋找離場站最近的需求點為起始路線的第一個顧客，此後尋找離最後加入路線的顧客最近的需求點，直到最後。

　　2）節省法（Clark and Wright Saving）：以服務每一個節點為起始解，根據三角不等式兩邊之和大於第三邊之性質，其起始狀況為每服務一個顧客後便回場站，而後計算路線間合併節省量，將節省量以降序排序而依次合併路線，直到最後。

　　3）插入法（Insertion procedures）：如最近插入法、最省插入法、隨意插入法、最遠插入法、最大角度插入法等。

　　2、途程改善法（Tour Improvement Procedure）

　　先給定一個可行途程，然後進行改善，一直到不能改善為止。有以下幾種解法：

　　1）K-Opt(2/3 Opt)：把尚未加入路徑的K條節線暫時取代目前路徑中K條節線，並計算其成本（或距離），如果成本降低（距離減少），則取代之，直到無法改善為止，K通常為2或3。

　　2）Or-Opt：在相同路徑上相鄰的需求點，將之和本身或其它路徑交換且仍保持路徑方向性，並計算其成本（或距離），如果成本降低（距離減少），則取代之，直到無法改善為止。

　　3、合成啟發法（Composite Procedure）

　　先由途程建構法產生起始途程，然後再使用途程改善法去尋求最佳解，又稱為兩段解法（two phase method）。有以下幾種解法：

　　1）起始解求解+2-Opt：以途程建構法建立一個起始的解，再用2-Opt的方式改善途程，直到不能改善為止。

　　2）起始解求解+3-Opt：以途程建構法建立一個起始的解，再用3-Opt的方式改善途程，直到不能改善為止。