矩法估計

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什麼是矩法估計

  對於隨機變數來說,矩是其最廣泛,最常用的數字特征,母體ξ的各階矩一般與ξ的分佈中所含的未知參數有關,有的甚至就等於未知參數。由辛欽大數定律知,簡單隨機子樣的子樣原點矩\bar{\xi^r}依概率收斂到相應的母體原點矩Eξr,r = 1,2,Λ。這就啟發我們想到用子樣矩替換母體矩(今後稱之為替換原則),進而找出未知參數的估計,基於這種思想求估計量的方法稱為矩法。用矩法求得的估計稱為矩法估計,簡稱矩估計。它是由英國統計學家皮爾遜Pearson於1894年提出的。

矩法估計的理論依據

  由辛欽大數定律知:

  \bar{\xi^r}\overrightarrow{p}E\xi^r,r=1,2,\Lambda

  即對\nu\varepsilon>0,有

  lim_{n\to\infty}P(|\bar{\xi^r}-E\xi^r|>\varepsilon)=0

  或

  lim_{n\to\infty}P(|\bar{\xi^r}-E\xi^r|\le\varepsilon)=1

矩法估計的具體步驟

  設母體ξ的概率函數為f(x1,Λ,θk),其中(\theta_1,\Lambda,\theta_k)\in\Theta是k個未知參數,ξ1,Λ,ξn是取自這一母體的一個子樣。設ξ的k階矩vk = Eξk存在,則vj,j < k都存在,並且是θ1,Λ,θk的函數vj1,Λ,θk),又子樣ξ1,Λ,θk的j階矩為\bar{\xi_n}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\xi_i^j。我們設

  \begin{cases} \bar{\xi}=E\xi \\ \bar{\xi^2}=E\xi^2 \\ \Lambda\Lambda\Lambda \\ \bar{\xi^k}=E\xi^k \end{cases}    (1)

  這樣我們就得到含k個未知參數θ1,Λ,θk的k個方程,解由這k個方程聯列所構成的方程組就可以得到theta1,Λ,θk的一組解:

  \begin{cases} \hat{\theta_1}=\hat{\theta_1}(\xi_1,\Lambda,\xi_n) \\ \hat{\theta_2}=\hat{\theta_2}(\xi_1,\Lambda,\xi_n) \\ \Lambda\Lambda\Lambda\Lambda\Lambda\Lambda\Lambda \\ \hat{\theta_k}=\hat{\theta_k}(\xi_1,\Lambda,\xi_n) \end{cases}    (2)

  用(2)中的解\hat{\theta_i}來估計參數θi 就是矩法估計。

  一般我們考察k\le 3的情形。

  在數理統計學中,我們一般用\hat{\theta}表示θ的估計量。

  下麵我們舉一個與實際問題有關的多參數的矩法估計問題。

  例:已知大學生英語四級考試成績ξ~N(μ,σ2),均值μ,方差σ2均未知,ξ1,Λ,ξn為取自母體ξ的一個子樣,(x1,Λ,xn)是子樣的一組觀測值,求μσ2的矩法估計。

  解:註意到有兩個未知參數,由矩法估計知需兩個方程,按照(1)式得方程組

  \begin{cases} \mu=\bar{\xi} \\ \sigma^2+\mu^2=\bar{\xi^2} \end{cases}

  解這一方程組得μσ的矩法估計量

  從而μσ2的矩法估計值分別為\bar{x}\hat{=}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2

  分析:註意到我們這裡求出μσ2的矩法估計並未用到母體ξ的分佈。這樣對μ,σ2作出了估計,也就對整個母體分佈作出了推斷,進而對大學生英語四級考試成績ξ相關的其它數字特征如標準分、標準差偏態繫數等作出了估計。

矩法估計的優缺點

  矩法估計原理簡單、使用方便,使用時可以不知母體的分佈,而且具有一定的優良性質(如矩估計\bar{\xi}Eξ的一致最小方差無偏估計),因此在實際問題,特別是在教育統計問題中被廣泛使用。

  但在尋找參數的矩法估計量時,對母體原點矩不存在的分佈如柯西分佈等不能用,另一方面它只涉及母體的一些數字特征,並未用到母體的分佈,因此矩法估計量實際上只集中了母體的部分信息,這樣它在體現母體分佈特征上往往性質較差,只有在樣本容量n較大時,才能保障它的優良性,因而理論上講,矩法估計是以大樣本為應用對象的。

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Zfj3000,Kane0135,Cabbage,Yixi.

評論(共3條)

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222.240.210.* 在 2008年4月26日 10:32 發表

非常感謝,對我很有用```

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218.14.17.* 在 2010年12月19日 12:26 發表

轉了

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211.137.59.* 在 2012年8月29日 15:01 發表

非常感謝

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