柯西中值定理

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什麼是柯西中值定理

  柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推廣,是微分學的基本定理之一。

  如果函數 f(x)g(x) 滿足

  在閉區間 [a,b] 上連續;

  在開區間 (a,b) 內可導,

  對任意 x\in (a,b),g'(x)\neq 0

  那麼在 (a,b) 內至少有一點 ξ(a < ξ < b) 使等式\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}成立。

  其幾何意義為:用參數方程表示的曲線上至少有一點,它的切線平行於兩端點所在的弦。

柯西中值定理的證明

  首先,如果 g(a) = g(b),由羅爾定理,存在一點 x_0\in (a,b) 使得 g'(x0) = 0,與條件3矛盾。所以 g(a)\neq g(b)

  令 h(x)=f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}\cdot g(x)。那麼

   h[a,b] 上連續,

   h(a,b) 上可導,

   h(a)=h(b)= \frac{f(a)g(b)-f(b)g(a)}{g(b)-g(a)}

  由羅爾定理,存在一點 \xi\in (a,b) 使得 h'(ξ) = 0。即 f'(\xi)= \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}\cdot g'(\xi)。命題得證。

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