柯西中值定理

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什麼是柯西中值定理

  柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推廣,是微分學的基本定理之一。

  如果函數 f(x)g(x) 滿足

  在閉區間 [a,b] 上連續;

  在開區間 (a,b) 內可導,

  對任意 x\in (a,b),g'(x)\neq 0

  那麼在 (a,b) 內至少有一點 ξ(a < ξ < b) 使等式\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}成立。

  其幾何意義為:用參數方程表示的曲線上至少有一點,它的切線平行於兩端點所在的弦。

柯西中值定理的證明

  首先,如果 g(a) = g(b),由羅爾定理,存在一點 x_0\in (a,b) 使得 g'(x0) = 0,與條件3矛盾。所以 g(a)\neq g(b)

  令 h(x)=f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}\cdot g(x)。那麼

   h[a,b] 上連續,

   h(a,b) 上可導,

   h(a)=h(b)= \frac{f(a)g(b)-f(b)g(a)}{g(b)-g(a)}

  由羅爾定理,存在一點 \xi\in (a,b) 使得 h'(ξ) = 0。即 f'(\xi)= \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}\cdot g'(\xi)。命題得證。

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Tracy,M id 620f6bab38f699dfad6afd739477cbee.

評論(共3條)

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M id 2e51bbf826c0a39a6e3d7e93e9b05488 (討論 | 貢獻) 在 2021年12月30日 10:53 發表

構造的函數是怎麼想到的?

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117.136.89.* 在 2022年1月11日 09:10 發表

M id 2e51bbf826c0a39a6e3d7e93e9b05488 (討論 | 貢獻) 在 2021年12月30日 10:53 發表

構造的函數是怎麼想到的?

嗯造高數題

回複評論
218.68.91.* 在 2022年3月17日 17:03 發表

M id 2e51bbf826c0a39a6e3d7e93e9b05488 (討論 | 貢獻) 在 2021年12月30日 10:53 發表

構造的函數是怎麼想到的?

用結論反推呀,沒看見hx=0的時候,右面正好是柯西定理的結論嗎

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