柯西中值定理

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什么是柯西中值定理

  柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广,是微分学的基本定理之一。

  如果函数 f(x)g(x) 满足

  在闭区间 [a,b] 上连续;

  在开区间 (a,b) 内可导,

  对任意 x\in (a,b),g'(x)\neq 0

  那么在 (a,b) 内至少有一点 ξ(a < ξ < b) 使等式\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}成立。

  其几何意义为:用参数方程表示的曲线上至少有一点,它的切线平行于两端点所在的弦。

柯西中值定理的证明

  首先,如果 g(a) = g(b),由罗尔定理,存在一点 x_0\in (a,b) 使得 g'(x0) = 0,与条件3矛盾。所以 g(a)\neq g(b)

  令 h(x)=f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}\cdot g(x)。那么

   h[a,b] 上连续,

   h(a,b) 上可导,

   h(a)=h(b)= \frac{f(a)g(b)-f(b)g(a)}{g(b)-g(a)}

  由罗尔定理,存在一点 \xi\in (a,b) 使得 h'(ξ) = 0。即 f'(\xi)= \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}\cdot g'(\xi)。命题得证。

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