富比尼定理

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什麼是富比尼定理

  富比尼定理是數學分析中有關重積分的一個定理,以數學家圭多·富比尼命名。富比尼定理給出了使用逐次積分的方法計算雙重積分的條件。在這些條件下,不僅能夠用逐次積分計算雙重積分,而且交換逐次積分的順序時,積分結果不變。

富比尼定理的內容

  若

\int_{A\times B} |f(x,y)|\,d(x,y)<\infty

  其中積分是關於空間A\times B的積測度,且AB都是σ-有限測度空間,那麼

\int_A\left(\int_B f(x,y)\,dy\right)\,dx=\int_B\left(\int_A f(x,y)\,dx\right)\,dy=\int_{A\times B} f(x,y)\,d(x,y)

  前兩個是在兩個測度空間上積分的迭代,第三個是關於這兩個測度積空間上的積分。而且

\int_A f(x)\, dx \int_B g(y)\, dy = \int_{A\times B} f(x)g(y)\,d(x,y)

  第三個是關於積測度的積分。

  如果條件中絕對值積分值不是有限,上述兩個迭代積分的值可能不同。

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