單一指數模型
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單一指數模型(Single-index model)
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單一指數模型(single-index model (SIM))是簡單資產定價模型，它通常用於金融行業對於一個股票的風險和回報的評估。
- 其中：
- rit is return to stock i in period t
- rfis the risk free rate (i.e. the interest rate on treasury bills)
- rmt < / sub > ''isthereturntothemarketportfolioinperiod''t'' * * < math > αi is the stock's alpha, or abnormal return
- βi is the stocks's beta, or responsiveness to the market return
- Note that rit − rf is called the excess return on the stock, rmt − rf the excess return on the market
- εit is the residual (random) return, which is assumed normally distributed with mean zero and standard deviation σi
These equations show that the stock return is influenced by the market (beta), has a firm specific expected value (alpha) and firm-specific unexpected component (residual). Each stock's performance is in relation to the performance of a market index (such as the All Ordinaries). Security analysts often use the SIM for such functions as computing stock betas, evaluating stock selection skills, and conducting event studies.
為了便於分析，單一指數模型假設只有一種巨集觀因素會引起股票收益風險，可以用一個市場指數的收益率來表示，例如標普指數500（S&P 500）。根據這個模型的假設，任何股票的收益都可以分解為個別股份剩餘收益的期望（這裡用一個公司特指的因數α表示）、影響市場的巨集觀事件的收益和不可預測的隻影響公司的微觀事件組成。
βi(rm − rf) 表示股票影響下的市場運動，ei表示公司因素影響下的債券風險。
巨集觀事件，例如利率的變化、勞動力成本的變化，會引起影響整個股票市場的收益的系統風險。公司特指事件是會引起特定公司收益變化的微觀事件，例如重要人物的去世或者降低公司的信用等級都會影響公司的收益，但是對整個經濟的影響是微不足道的。在一個投資組合里，由公司特指因素引起的非系統風險可以通過離散化降低為0。
這個指數模型基於下列假設：
- 大部分的股票有正的協方差因為他們對於巨集觀事件反應相似。
- 然而，一些公司對於這些因素的敏感程度大於別的公司，由繫數β來控制這個敏感程度。
- 債券之間的協方差是由於對巨集觀事件的不同反應程度造成的。所以，每隻股票的協方差（covariance）等於他們的β與市場方差（market variance)相乘。
- Cov(Ri, Rk) = βiβkσ2.
最後一個方程大大降低了協方差的計算量，否則，投資組合里債券的協方差必須用歷史收益計算，每一債券的必須單獨計算。有了這個方程，只需要β和市場的方差就可以。於是單一指數模型大大的降低了計算量。
