泊松分布

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泊松分布(Poisson Distribution)

　　Poisson分布(法语：loi de Poisson，英语：Poisson distribution，译名有泊松分布、普阿松分布、卜瓦松分布、布瓦松分布、布阿松分布、波以松分布、卜氏分配等)，是一种统计与概率学里常见到的离散机率分布(discrete probability distribution)，由法国数学家西莫恩·德尼·泊松(Siméon-Denis Poisson)在1838年时发表。

　　泊松分布（Poisson distribution），台译卜瓦松分布（法语：loi de Poisson，英语：Poisson distribution，译名有泊松分布、普阿松分布、卜瓦松分布、布瓦松分布、布阿松分布、波以松分布、卜氏分配等），是一种统计与概率学里常见到的离散机率分布（discrete probability distribution）。泊松分布是以18～19 世纪的法国数学家西莫恩·德尼·泊松（Siméon-Denis Poisson）命名的，他在1838年时发表。这个分布在更早些时候由贝努里家族的一个人描述过。

　　泊松分布的概率质量函数为：

　　泊松分布的参数λ是单位时间(或单位面积)内随机事件的平均发生率。

　　泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数。如某一服务设施在一定时间内到达的人数，电话交换机接到呼叫的次数，汽车站台的候客人数，机器出现的故障数，自然灾害发生的次数等等。

　　若随机变量X取0和一切正整数值，在n次独立试验中出现的次数x恰为k次的概率P（X=k）=（k=0,1,...,n），式中λ是一个大于0的参数，此概率分布称为泊松分布。它的期望值为E(x)=λ，方差为D(x) = λ。当n很大，且在一次试验中出现的概率P很小时，泊松分布近似二项分布。

　　Poisson分布主要用于描述在单位时间(空间)中稀有事件的发生数. 即需满足以下四个条件：^[1]

　　1、给定区域内的特定事件产生的次数，可以是根据时间，长度，面积来定义；

　　2、各段相等区域内的特定事件产生的概率是一样的；

　　3、各区域内，事件发生的概率是相互独立的；

　　4、当给定区域变得非常小时，两次以上事件发生的概率趋向于0。

　　例如：

　　1、放射性物质在单位时间内的放射次数；

　　2、在单位容积充分摇匀的水中的细菌数；

　　3、野外单位空间中的某种昆虫数等。

　　由泊松分布知E[N(t) − N(t₀)] = D[N(t) − N(t₀)] = λ(t − t₀)

　　特别的，令t_0=0.由于假设N(0)=0,故可推知泊松过程的均值函数和方差函数分别为E[N(t)] = λt,D[N(t)] = λt,

　　泊松过程的强度\lambda （常数）等于单位长时间间隔内出现的质点数目的期望值。即对泊松分布有：E(X) = D(X) = λ

　　1、泊松分布是一种描述和分析稀有事件的概率分布。要观察到这类事件，样本含量n必须很大。

　　2、λ是泊松分布所依赖的唯一参数。λ值愈小，分布愈偏倚，随着λ的增大，分布趋于对称。

　　3、当λ = 20时，分布泊松接近于正态分布；当λ = 50时，可以认为泊松分布呈正态分布。在实际工作中，当时就可以用正态分布来近似地处理泊松分布的问题。