线性插值法

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线性插值法(linear interpolation)

目录

什么是线性插值法[1]

  线性插值法是指使用连接两个已知量的直线来确定在这两个已知量之间的一个未知量的值的方法。

如何进行线性插值

  假设我们已知坐标(x0,y0)(x1,y1),要得到[x0,x1]区间内某一位置x在直线上的值。根据图中所示,我们得到两点式直线方程:

  \frac{y-y_0}{y_1-y_0}=\frac{x-x_0}{x_1-x_0}

线性插值

  假设方程两边的值为α,那么这个值就是插值系数—从x0到x的距离与从x0x1距离的比值。由于x值已知,所以可以从公式得到α的值

  \alpha=\frac{x-x_0}{x_1-x_0}

  同样,

  \alpha=\frac{y-y_0}{y_1-y_0}

  这样,在代数上就可以表示成为:

  y = (1 − α)y0 + αy1

  或者,

  y = y0 + α(y1y0)

  这样通过α就可以直接得到 y。实际上,即使x不在x0x1之间并且α也不是介于0到1之间,这个公式也是成立的。在这种情况下,这种方法叫作线性外插—参见 外插值。

  已知y求x的过程与以上过程相同,只是x与y要进行交换

线性插值近似法

  线性插值经常用于已知函数f在两点的值要近似获得其它点数值的方法,这种近似方法的误线定义为

  RT = f(x) − ρ(x)

  其中ρ表示上面定义的线性插值多项式

  \rho(x)==f(x_0)+\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}(x-x_0)

  根据罗尔定理,我们可以证明:如果f有两个连续导数,那么误差范围是

  \left|R_T\right|\le\frac{(x_1-x_0)^2}{8}\max_{x_0 \leq x \leq x_1} \left|f^\prime(x)\right|

  正如所看到的,函数上两点之间的近似随着所近似的函数的二阶导数的增大而逐渐变差。从直观上来看也是这样:函数的曲率越大,简单线性插值近似的误差也越大。

线性插值法的计算实例[2]

  线性插值法是认为现象的变化发展是线性的、均匀的,所以可利用两点式的直线方程式进行线性插值。

  两点式的直线方程式为:
\frac{Y-Y_0}{Y_1-Y_0}=\frac{X-X_0}{X_1-X_0}  即  Y=Y_0+\frac{Y_1-Y_0}{X_1-X_0}(X-X_0)

  式中  X0,Y0,X1,Y1——已知的统计数据

      X——X0,X1之间的任何数据;

      Y——与X对应的插值数据。

  例 某地区居民货币收入和消费支出情况如表1所示。试推算该地区居民收入为19.5亿元时,其相应的消费支出是多少?

表1 居民货币收入和消费支出资料(单位:亿元)

顺序货币收入(x)消费支出(y)
018.215.8
119.817.2

  解  Y=Y_0+\frac{Y_1-Y_0}{X_1-X_0}(X-X_0)

    =15.8+\frac{17.2-15.8}{19.8-18.2}(19.5-18.2)

     = 16.9

  所以,当该地区居民收入是19.5亿元时,其消费支出是16.9亿元。

  由于线性插值法只利用两点的对应值宋推算两点之间的对应值,而两点对应值本身往往受到各种偶然因素的影响,所以线性插值结果可能误差较大。

参考文献

  1. 道明诚教育CFA考试培训中心编,余润主编.CFA考试核心词汇手册.中信出版社,2011.03.
  2. 于磊 赵君明编著.统计学.同济大学出版社,2003年09月第2版.
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评论(共15条)

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118.123.3.* 在 2010年5月26日 19:31 发表

缺少实际例题解说

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122.224.145.* 在 2010年10月15日 20:59 发表

有程序更好~

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58.16.7.* 在 2011年6月8日 03:44 发表

很清楚

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123.150.182.* 在 2011年12月5日 20:10 发表

什么线性插值法,说白了不就是按照比例来计算吗?

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60.208.158.* 在 2012年2月16日 10:12 发表

不就是线性比例法吗??

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221.209.17.* 在 2013年8月8日 11:21 发表

要是有实际例题就更好了

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连晓雾 (Talk | 贡献) 在 2013年8月12日 14:01 发表

221.209.17.* 在 2013年8月8日 11:21 发表

要是有实际例题就更好了

谢谢指正,已添加实例,希望对您有帮助~

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222.243.162.* 在 2014年8月22日 09:05 发表

讲解的很清楚啊!!!!大赞!!!

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106.2.163.* 在 2015年12月7日 21:00 发表

很清楚明白!

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118.122.48.* 在 2016年6月1日 17:39 发表

讲解清晰,受教了!

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120.85.76.* 在 2016年9月23日 14:49 发表

很好,很清楚,我喜欢

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220.180.238.* 在 2017年3月31日 11:31 发表

这个插值误差范围怎么计算的??

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111.85.49.* 在 2017年6月8日 20:17 发表

0至∞,规律的好说。0.-1.1无序的话就用不到啦

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112.28.170.* 在 2017年6月26日 09:03 发表

这个是我二十年前研究出的公式,发表在《管理会计》,正名叫:“以直代曲解析公式法”,还有一组叫“以曲代曲解析公式法”。现在的一些教科书引用了,改名为:线性插入、一般公式、特殊公式……都是篡改。智库的插图解析就是一大笑话:直线图形不该是右高左低,应该是左高右低,因为折现率与净现值是呈反比例关系的。 刘云

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Mis铭 (Talk | 贡献) 在 2017年6月26日 15:30 发表

112.28.170.* 在 2017年6月26日 09:03 发表

这个是我二十年前研究出的公式,发表在《管理会计》,正名叫:“以直代曲解析公式法”,还有一组叫“以曲代曲解析公式法”。现在的一些教科书引用了,改名为:线性插入、一般公式、特殊公式……都是篡改。智库的插图解析就是一大笑话:直线图形不该是右高左低,应该是左高右低,因为折现率与净现值是呈反比例关系的。 刘云

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