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等可能事件

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出自 MBA智库百科(https://wiki.mbalib.com/)

目录

[隐藏]

什么是等可能事件

  等可能事件是指每个基本事件出现的可能性都相等.若某一试验由n个基本事件组成(即等可能出现n个结果,则每个基本事件的概率\frac{1}{n}),如果某个事件A包含的结果有m个(既包含有m个基本事件),那么事件A的概率为P(A)=\frac{m}{n}

  注意:P(A)=\frac{m}{n}是等可能事件概率的定义,同时也是计算这种概率的一种方法.利用这个式子计算概率时,关键是求出m、m,n为一次试验中等可能出现的结果数,m为某个事件A所包含的结果数.求n时,应注意这几种结果必须是等可能的.

  【举例】:先后抛掷两枚质地均匀的硬币,求“一枚出现正面,另一枚出现反面”的概率.

  分析:先后抛掷2枚质地均匀的硬币,可出现“正,正”、“正,反”、“反,正”、“反,反”这4种等可能的结果.而“一枚出现正面,另一枚出现反面”这一事件包括“正,反”、“反,正”两种结果.

  解:设一枚出现正面,另一枚出现反面的事件为A,则

  P(A)=\frac{m}{n}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}

  ∴“一枚出现正面,另一枚出现反面”的概率\frac{1}{2}

  注意:解答本题,有时错误认为先后抛掷2枚质地均匀的硬币,只会出现“2个正面”、“2个反面”、“1正1反”这3种情况,从而得出 的结论.实际上述3种情况不是等可能的.

“互斥事件”与“等可能事件”的差异

  “互斥事件”和“等可能事件”是意义不同的两个概念.在一次试验中,由于某种对称性条件,使得若干个随机事件中每一事件产生的可能性是完全相同的,则称这些事件为等可能事件,在数目上,它可为2个或多个,而互斥事件是指不可能同时发生的两个或多个事件.

  两种事件不是水火不相溶.有些等可能事件可能也是互斥事件,有些互斥事件也可能是等可能事件.

  下面通过举例来辨清“互斥事件”和“等可能事件”.

  【举例1】 判断以下各组中的事件是否是互斥事件?是否是等可能事件?

  (1)粉笔盒里有8支红粉笔,6支绿粉笔,4支黄粉笔,现从中任取1支,“抽得红粉笔”,“抽得绿粉笔”、“抽得黄粉笔”.

  (2)李明从分别标有1,2,…,10标号的同样的小球中,任取一球,“取得1号球”,“取得2号球”,…,“取得10号球”.

  (3)一周七天中,“周一晴天”,“周二晴天”,…,“周六晴天”,“星期天晴天”

  解:(1)“抽得红粉笔”,“抽得绿粉笔”,“抽得黄粉笔”,它们是彼互斥事件,不是等可能事件.

  (2)“取得1号球”,“取得2号球”,…,“取得10号球”,它们既是彼此互斥事件,又是等可能事件.

  (3)“周一晴天”,…,“星期天晴天”,它们是等可能事件,不是彼此互斥事件.

  【举例2】 抛掷一均匀的正方体玩具(各面分别标有数1,2,3,4,5,6),事件A表示“朝上一面的数是奇数”,事件B表示“朝上一面的数不超过3”,求P(A+B).

  下面给出两种不同解法

  解法1:

  ∵P(A)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}P(B)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}

  ∴P(A+B)=P(A)+P(B)=\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1

  解法2:A+B这一事件包括4种结果:即出现1,2,3和5。所以P(A+B)=\frac{3}{6}+\frac{1}{6}=\frac{2}{3}

  请你判明解法1和解法2的正误.

  解法1是错误的,解法2是正确的.

  错解的原因在于忽视了“事件和”概率公式应用的前提条件.由于“朝上一面的数是奇数”与“朝上一面的数不超过3”二者不是互斥事件.即出现1或3时,事件A、B同时发生,所以不能应用P(A+B)=P(A)+P(B)求解.

  而解法2中,将A+B分成出现“1,2,3”与“5”这两个事件,记出现“1,2,3”为事件C,出现“5”为事件D,则C与D两事件互斥

  ∴P(A+B)=P(C+D)=P(C)+P(D)=\frac{3}{6}+\frac{1}{6}=\frac{2}{3}

  ∴解法2正确.

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